已知椭圆的方程为
,双曲线
的左、右焦点分别为
的左、右顶点,而
的左、右顶点分别是
的左、右焦点。
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与椭圆
及双曲线
都恒有两个不同的交点,且L与的两个焦点A和B满足
(其中O为原点),求
的取值范围。
(1);(2)
解析试题分析:(1)有椭圆方程中读出其长轴长,焦距长,根据题意得出双曲线的长轴长,和焦距长,即可求出双曲线方程。(2)因为直线l与两曲线均有两个不同交点,故联立方程后整理出的一元二次方程均有两根,即判别式均大于0,再根据向量数量积公式列出关于K 的不等式,三个不等式取交集。
试题解析:(1)设双曲线的方程为
,由椭圆
的方程
知,其长轴长为4,焦距长为
,则由题意知双曲线
中
,
,所以
,故
的方程为
。
(2)将代入
,整理得
,由直线
与椭圆
恒有两个不同的交点得
即
,
将代入
,整理得
,由直线
与双曲线
恒有两个不同的交点得
,解得
。
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
考点:圆锥曲线方程基础知识,直线与圆锥曲线的位置关系,向量数量积公式
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知过点
的椭圆
:
的右焦点为
,过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于坐标原点的对称点为
,直线
,
分别交椭圆
的右准线
于
,
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点的坐标为
,试求直线
的方程;
(3)记,
两点的纵坐标分别为
,
,试问
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分)点P为圆上一个动点,M为点P在y轴上的投影,动点Q满足
.
(1)求动点Q的轨迹C的方程;
(2)一条直线l过点,交曲线C于A、B两点,且A、B同在以点D(0,1)为圆心的圆上,求直线l的方程。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中、
是过抛物线
焦点
的两条弦,且其焦点
,
,点
为
轴上一点,记
,其中
为锐角.
(1)求抛物线方程;
(2)求证:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线的焦点为F,过F的直线交抛物线于M、N两点,其准线
与x轴交于K点.
(1)求证:KF平分∠MKN;
(2)O为坐标原点,直线MO、NO分别交准线于点P、Q,求的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为,点
是点
关于
轴的对称点,过点
的直线交抛物线于
两点。
(Ⅰ)试问在轴上是否存在不同于点
的一点
,使得
与
轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点
的坐标,若不存在说明理由。
(Ⅱ)若的面积为
,求向量
的夹角;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线上任意一点
到直线
的距离是它到点
距离的
倍;曲线
是以原点为顶点,
为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求,
的方程;
(Ⅱ)过作两条互相垂直的直线
,其中
与
相交于点
,
与
相交于点
,求四边形
面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆:
的离心率为
,以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
:
,设圆
与椭圆
交于点
与点
.(12分)
(1)求椭圆的方程;(3分)
(2)求的最小值,并求此时圆
的方程;(4分)
(3)设点是椭圆
上异于
,
的任意一点,且直线
分别与
轴交于点
,
为坐标原点,求证:
为定值.(5分)
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