某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中、
是过抛物线
焦点
的两条弦,且其焦点
,
,点
为
轴上一点,记
,其中
为锐角.
(1)求抛物线方程;
(2)求证:.
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在平面直角坐标系中,已知
分别是椭圆
的左、右焦点,椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
相交于
、
两点,若
(
为坐标原点),试判断直线
与圆
的位置关系,并证明你的结论.
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给定椭圆C:,若椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点Q满足且
=0,其中N为椭圆的下顶点,求直线在y轴上截距的取值范围.
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(13分)如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽20m,要求通行车辆限高5m,隧道全长2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高度为3米,隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。
(1)若最大拱高h为6 m,则隧道设计的拱宽是多少?
(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小,则应如何设计拱高h和拱宽?(已知:椭圆
+
=1的面积公式为S=
,柱体体积为底面积乘以高。)
(3)为了使隧道内部美观,要求在拱线上找两个点M、N,使它们所在位置的高度恰好是限高5m,现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点,用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭,形成一个梯形,若l=30m,梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍,试确定M、N的位置以及
的值,使总造价最少。
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已知圆锥曲线的两个焦点坐标是
,且离心率为
;
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设曲线表示曲线
的
轴左边部分,若直线
与曲线
相交于
两点,求
的取值范围;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,如果,且曲线
上存在点
,使
,求
的值.
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已知椭圆的方程为
,双曲线
的左、右焦点分别为
的左、右顶点,而
的左、右顶点分别是
的左、右焦点。
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与椭圆
及双曲线
都恒有两个不同的交点,且L与的两个焦点A和B满足
(其中O为原点),求
的取值范围。
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已知椭圆的中心在原点
,离心率
,右焦点为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的上顶点为,在椭圆
上是否存在点
,使得向量
与
共线?若存在,求直线
的方程;若不存在,简要说明理由.
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