在平面直角坐标系
中，已知
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点，且过点
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设直线
与椭圆相交于
、
两点,若
(
为坐标原点),试判断直线与圆
的位置关系，并证明你的结论.
(Ⅰ)
(Ⅱ) 直线与圆相切
解析试题分析：(Ⅰ) 由题意得
，又
，结合
,可解得
的值,从而得椭圆的标准方程.(Ⅱ)设
,则
,当直线与
轴垂直时,由椭圆的对称性易求
两点的坐标,并判断直线
与圆
是否相切.当直线的不与轴垂直时,可设其方程为
,与椭圆方程联立方程组
消法
得:
，
,结合,可得
与
的关系,由此可以判断与该直线与圆的位置关系.
试题解析：解(Ⅰ)由已知得,由题意得 ，又， 2分
消去
可得，
，解得
或
（舍去），则
，
所以椭圆
的方程为． 4分
(Ⅱ)结论：直线与圆相切.
证明:由题意可知,直线不过坐标原点,设
的坐标分别为
(ⅰ)当直线
轴时,直线的方程为
且
则
解得
，故直线的方程为
，
因此,点
到直线的距离为
，又圆的圆心为,
半径
所以直线与圆相切 7分
(ⅱ)当直线不垂直于
轴时,
设直线的方程为
，联立直线和椭圆方程消去
得；
得 ，
，故
，
即
① 10分
又圆的圆心为
教学练新同步练习系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知直线l：y＝x＋
，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：
＝1(a＞b＞0)的离心率e＝
，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率为
，椭圆的的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4，
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线
与椭圆C交于A, B两点，若点M（
， 0），求证
为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知线段MN的两个端点M、N分别在
轴、
轴上滑动，且
，点P在线段MN上，满足
，记点P的轨迹为曲线W．
(1)求曲线W的方程，并讨论W的形状与
的值的关系；
(2)当
时，设A、B是曲线W与轴、轴的正半轴的交点，过原点的直线与曲线W交于C、D两点，其中C在第一象限，求四边形ACBD面积的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
（a>b>0）的离心率为
，右焦点为（
，0）．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于点A（xl，y1）,B（x2，y2），若
， 求斜率k是的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系
中，已知过点
的椭圆
：
的右焦点为
，过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆交于
，
两点，点关于坐标原点的对称点为
，直线
，
分别交椭圆的右准线
于
，
两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的坐标为
，试求直线的方程；
（3）记，两点的纵坐标分别为
，
，试问
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．
(1)求抛物线方程；
(2)求证：
．
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：
.
轴上的椭圆，求
的取值范围；
，过点
的直线
与曲线
,
两点，
为坐标原点，若
为直角，求直线
,椭圆
以
的长轴为短轴,且与
,求直线
的方程.