已知线段MN的两个端点M、N分别在轴、
轴上滑动,且
,点P在线段MN上,满足
,记点P的轨迹为曲线W.
(1)求曲线W的方程,并讨论W的形状与的值的关系;
(2)当时,设A、B是曲线W与
轴、
轴的正半轴的交点,过原点的直线与曲线W交于C、D两点,其中C在第一象限,求四边形ACBD面积的最大值.
(1)当时,曲线
的方程为
,表示焦点在
轴上的椭圆;当
时,曲线
的方程为
,
为以原点为圆心、半径为2的圆;当
时,曲线
的方程为
,表示焦点在
轴上的椭圆.(2)
.
解析试题分析:(1)设出,根据已知条件
以及
,得到一个关系式
,化简成标准形式为
,分别讨论当
,
,
时所表达的
的形状;(2)由
,则曲线
的方程是
,得出
,再设
,依据对称性得
,表示出
,根据基本不等式得到
,故四边形
面积有最大值
.
试题解析:(1)设,则
,而由
,则
,解得
,代入得:
,化简得
.
当时,曲线
的方程为
,表示焦点在
轴上的椭圆;
当时,曲线
的方程为
,
为以原点为圆心、半径为2的圆;
当时,曲线
的方程为
,表示焦点在
轴上的椭圆.
(2)由(1)当时,曲线
的方程是
,可得
.设
,由对称性可得
.因此,四边形
的面积
,
即,而
,即
,所以四边形
的面积
当且仅当
时,即
且
时取等号,故当C的坐标为
时,四边形
面积有最大值
.
考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与圆锥曲线的联立问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,动点
满足:点
到定点
与到
轴的距离之差为
.记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)过点的直线交曲线
于
、
两点,过点
和原点
的直线交直线
于点
,求证:直线
平行于
轴.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,P是椭圆上一点,且
面积的最大值等于2.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点M(0,2)作直线与直线
垂直,试判断直线
与椭圆的位置关系5
(3)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的左、右焦点分别为
、
,椭圆上的点
满足
,且△
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为
、
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点,直线
与直线
的交点为
,证明:点
总在直线
上.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知
分别是椭圆
的左、右焦点,椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
相交于
、
两点,若
(
为坐标原点),试判断直线
与圆
的位置关系,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
. 判断四边形
是否为梯形,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交椭圆C于A、B两点,试问:在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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