Question

已知椭圆C:的离心率为,长轴长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线交椭圆C于A、B两点,试问：在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足,若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．

Answer 1

（I）.（II）存在点满足.

解析试题分析：（I）利用椭圆的几何性质得.
（II）通过研究时，可知满足条件，若所求的定点M存在，则一定是P点.
证明就是满足条件的定点.
将直线方程与椭圆方程联立并整理，应用韦达定理，将用坐标表示，根据
得到使的点.
试题解析：（I）由题意得，              2分
解得                3分
椭圆的方程为.                4分
（II）当时，直线与椭圆交于两点的坐标分别为，
设y轴上一点,满足, 即，
∴解得或（舍），
则可知满足条件，若所求的定点M存在，则一定是P点.        6分
下面证明就是满足条件的定点.
设直线交椭圆于点,.
由题意联立方程       8分
由韦达定理得，             9分

∴

            11分
∴，即在y轴正半轴上存在定点满足条件.       12分
解法2：
设y轴上一点,满足, 即，        5分
设直线交椭圆于点, .
由题意联立方程       7分
由韦达定理得，             8分

∴

           10分
整理得，
由对任意k都成立，得
且
解得                                   11分
所以存在点满足.                12分
考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算.