已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,
为原点.
(1)如图1,点为椭圆
上的一点,
是
的中点,且
,求点
到
轴的距离;
(2)如图2,直线与椭圆
相交于
、
两点,若在椭圆
上存在点
,使四边形
为平行四边形,求
的取值范围.
(1);(2)
.
解析试题分析:(1)先设点的坐标,并利用点
的坐标来表示点
的坐标,利用
以及点
在椭圆
上列方程组求解点
的坐标,从而求出点
到
轴的距离;(2)先设点
、
,利用
为平行四边形,得到
,将直线方程与椭圆方程联立,结合韦达定理与点
在椭圆上这一条件,列相应等式求出实数
的取值范围.
试题解析:(1)由已知得、
,
设,则
的中点为
,
,
,即
,
整理得,①,又有
,②
由①②联立解得或
(舍)
点
到
轴的距离为
;
(2)设,
,
,
四边形
是平行四边形
线段
的中点即为线段
的中点,即
,
,
点
在椭圆上,
,
即,
化简得,
由得
,
由得
,④
且,代入③式得
,
整理得代入④式得
,又
,
或
,
的取值范围是
.
考点:1.直线与椭圆的位置关系;2.韦达定理
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
. 判断四边形
是否为梯形,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知两点,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为
.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交椭圆C于A、B两点,试问:在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆与双曲线
有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线
于M、N两点,且
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点,
,动点G满足
.
(Ⅰ)求动点G的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知过点且与
轴不垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹
于P,Q两点.在线段
上是否存在点
,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知两点及
,点
在以
、
为焦点的椭圆
上,且
、
、
构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆
有且仅有一个公共点,点
是直线
上的两点,且
,
. 求四边形
面积
的最大值.
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