已知两点,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为
.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
(Ⅰ)(
);(Ⅱ)
.
解析试题分析:(Ⅰ)设点 的坐标为
则,
,化简可得轨迹方程.
(Ⅱ)设出直线PE、PF的点斜式方程,分别求出它们与圆(
)相切条件下与曲线C的另一交个交点Q、R.的坐标,写出直线
的方程,点到直线的距离公式可求
的底边
上的高.进而得出
面积的表达式,再探索用基本不等式求该式最值的方法.
试题解析:(Ⅰ)设点,
2分
整理得点M所在的曲线C的方程:(
) 3分
(Ⅱ)由题意可得点P() 4分
因为圆的圆心为(1,0),
所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数 5分
设直线PE的方程为,
与椭圆方程联立消去,得:
, 6分
由于1是方程的一个解,
所以方程的另一解为 7分
同理 8分
故直线RQ的斜率为=
9分
把直线RQ的方程代入椭圆方程,消去
整理得
所以 10分
原点O到直线RQ的距离为 11分
12分
考点:1、动点轨迹方程的求法;2、直线与圆、圆锥曲线的位置关系;3、基本不等式的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知点
,
是动点,且
的三边所在直线的斜率满足
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)若是轨迹
上异于点
的一个点,且
,直线
与
交于点
,问:是否存在点
,使得
和
的面积满足
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知点和
,圆
是以
为圆心,半径为
的圆,点
是圆
上任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
所在的直线交于点
.
(Ⅰ)当点在圆上运动时,求点
的轨迹方程
;
(Ⅱ)已知,
是曲线
上的两点,若曲线
上存在点
,满足
(
为坐标原点),求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点,设点A关于x轴的
对称点为A1.求证:直线A1B过x轴上一定点,并求出此定点坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的离心率为
且与双曲线
:
有共同焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆落在第一象限的图像上任取一点作
的切线
,求
与坐标轴围成的三角形的面积的最小值;
(3)设椭圆的左、右顶点分别为
,过椭圆
上的一点
作
轴的垂线交
轴于点
,若
点满足
,
,连结
交
于点
,求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,
为原点.
(1)如图1,点为椭圆
上的一点,
是
的中点,且
,求点
到
轴的距离;
(2)如图2,直线与椭圆
相交于
、
两点,若在椭圆
上存在点
,使四边形
为平行四边形,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,长轴长为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
长轴上的一个动点,过
作方向向量
的直线
交椭圆
于
、
两点,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆E:=1(
)过点M(2,
), N(
,1),
为坐标原点
(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由。
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