在平面直角坐标系中,已知点,是动点,且的三边所在直线的斜率满足.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若是轨迹上异于点的一个点,且,直线与交于点,问:是否存在点,使得和的面积满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
(1)(且),(2)
解析试题分析:(1)点的轨迹的方程,就是找出点横坐标与纵坐标的关系式,而条件中只有点为未知,可直接利用斜率公式化简,得点的轨迹的方程为,求出轨迹的方程后需结合变形过程及观察图像进行去杂,本题中分母不为零是限制条件,(2)本题难点在于对条件的转化,首先条件说明的是,其次条件揭示的是,两者结合转化为条件,到此原题就转化为:已知斜率为的过点直线被抛物线截得弦长为,求点的坐标.
试题解析:
(1)设点为所求轨迹上的任意一点,则由得,
,整理得轨迹的方程为(且). 3分
(2):学设由可知直线,
则,故,即, 5分
直线OP方程为: ①; 直线QA的斜率为:,
∴直线QA方程为:,即 ②
联立①②,得,∴点M的横坐标为定值. 8分
由,得到,因为,所以,
由,得,∴的坐标为.
∴存在点P满足,的坐标为. 10分
考点:轨迹方程,直线与抛物线位置关系
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证:两条切线的斜率之积为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知定点A (p为常数,p>0),B为x轴负半轴上的一个动点,动点M使得|AM|=|AB|,且线段BM的中点G在y轴上.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-,点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M,N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求证,A,D,N三点共线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
抛物线在点,处的切线垂直相交于点,直线与椭圆相交于,两点.
(1)求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离;
(2)设点到直线的距离为,试问:是否存在直线,使得,,成等比数列?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知两点,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆()相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
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