已知椭圆C:的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点,设点A关于x轴的
对称点为A1.求证:直线A1B过x轴上一定点,并求出此定点坐标.
(1);(2)定点
(1,0).
解析试题分析:(1)求椭圆C的方程,由题意,焦点坐标为,可求得
,再根据椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.由等边三角形的性质,可求得
和
的关系式,可求得
,进而求得
,则椭圆的方程可得;(2)求证:直线
过
轴上一定点,并求出此定点坐标.这是过定点问题,这类题的处理方法有两种,一.可设出直线方程为
,然后利用条件建立
等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.二.从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.本题可设直线
的方程为:
,与椭圆方程
联立消去
,设出
,
,则可利用韦达定理求得
和
的表达式,根据
点坐标求得关于
轴对称的点
的坐标,设出定点
,利用
求得
,从而得证.
试题解析:(1)椭圆C:的一个焦点是(1,0),所以半焦距
,又因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,所以
,解得
,所以椭圆C的标准方程为
;· 5分
(2)设直线:
与
联立并消去
得:
.
记,
,
,
. 8分
由A关于轴的对称点为
,得
,根据题设条件设定点为
(
,0),
得,即
.
所以
即定点(1,0). 13分
考点:椭圆的简单性质;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-,点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M,N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求证,A,D,N三点共线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
(
)过点
,且椭圆
的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动点在直线
上,过
作直线交椭圆
于
两点,且
为线段
中点,再过
作直线
.证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
. 判断四边形
是否为梯形,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知两点,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为
.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆与双曲线
有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线
于M、N两点,且
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的左、右顶点分别为
、
,离心率
.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点,且,求直线MN的方程.
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