已知椭圆
：
（
）过点
，且椭圆的离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动点
在直线
上，过作直线交椭圆于
两点，且为线段
中点，再过作直线
.证明：直线
恒过定点，并求出该定点的坐标.
（Ⅰ）
（Ⅱ）直线恒过定点
解析试题分析：(Ⅰ)点
在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为
，且
，解方程组可得
。（Ⅱ）点在直线上，则可得
。当直线的斜率存在时设斜率为
，得到直线方程，联立方程消掉
得关于
的一元二次方程。再根据韦达定理可得根与系数的关系。因为为中点，根据点的横坐标解得。因为故可得直线的斜率，及其含参数
的方程。分析可得直线是否恒过定点。注意还要再讨论当直线的斜率不存在的情况。
试题解析：解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以
，
所以
， 1分
因为椭圆的离心率为，所以
，即
， 2分
解得
， 4分
所以椭圆的方程为. 5分
（Ⅱ）设，
，
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
，
，
由
得
， 7分
所以
， 8分
因为为中点，所以
，即
.
所以
， 9分
因为直线，所以
，
所以直线的方程为
，即
，
显然直线恒过定点. 11分
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线为轴，也过点. 13分
综上所述直线恒过定点. 14
夺冠金卷全能练考系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知平面五边形
关于直线
对称（如图（1）），
，
，将此图形沿
折叠成直二面角，连接
、
得到几何体（如图（2））
（1）证明：
平面
；
（2）求平面
与平面
的所成角的正切值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知椭圆
：
的离心率为 
，点
为其下焦点，点
为坐标原点，过 的直线 
：
（其中
）与椭圆 相交于
两点，且满足：
.
（1）试用 
表示 
；
（2）求 的最大值；
（3）若 
，求 
的取值范围.
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在平面直角坐标系中,已知点
和
,圆
是以为圆心,半径为
的圆,点
是圆上任意一点，线段
的垂直平分线
和半径
所在的直线交于点
.
（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程
；
（Ⅱ）已知
，
是曲线上的两点，若曲线上存在点，满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围.
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已知椭圆
：
经过如下五个点中的三个点：
，
，
，
，
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点
为椭圆的左顶点，
为椭圆上不同于点的两点，若原点在
的外部，且为直角三角形，求面积的最大值.
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已知椭圆C：
的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的
对称点为A1．求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
的离心率为
且与双曲线
：
有共同焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆落在第一象限的图像上任取一点作的切线
，求与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
（3）设椭圆的左、右顶点分别为
，过椭圆上的一点
作
轴的垂线交轴于点
，若
点满足
，
，连结
交
于点
，求证：
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－
的直线与曲线M相交于A、B两点. 问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.
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,椭圆
以
的长轴为短轴,且与
,求直线
的方程.