已知椭圆:
经过如下五个点中的三个点:
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点为椭圆
的左顶点,
为椭圆
上不同于点
的两点,若原点在
的外部,且
为直角三角形,求
面积的最大值.
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析试题分析:(Ⅰ)因为和
关于原点对称,由椭圆的对称性可知
和
在椭圆上。因为
在椭圆上则
和
不在椭圆上。所以
在椭圆上。解方程组可得
的值。(Ⅱ)需讨论哪个角为直角只讨论
和
即可,因为点
的位置没有固定,
和
的情况相同。如当
时,设直线
,联立方程消去消去
得关于
的一元二次方程,由韦达定理得根与系数的关系。根据
,则直线垂直其斜率相乘等于
,列式计算可得
,
则说明原点在
的外部,符合条件,否则不符合条件舍掉。在求
面积时若采用先求弦
再求点
到
的距离最后求面积的方法计算过于繁琐,所以求
的面积时可用分割法,计算较简单。
试题解析:解:(Ⅰ)由知,
和
不在椭圆
上,即椭圆
经过
,
,
.
于是.
所以 椭圆的方程为:
. 2分
(Ⅱ)①当时,设直线
,由
得
.设
,则
,
所以.
于是,此时
,所以 直线
.
因为,故线段
与
轴相交于
,即原点在线段
的延长线上,即原点在
的外部,符合题设. 6分
所以 .
当时取到最大值
. 9分
②当时,不妨设
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已知椭圆的右焦点为F2(1,0),点
在椭圆上.
(1)求椭圆方程;
(2)点在圆
上,M在第一象限,过M作圆
的切线交椭圆于P、Q两点,问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值?如果是,求出定值,如不是,说明理由.
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已知椭圆:
(
)过点
,且椭圆
的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动点在直线
上,过
作直线交椭圆
于
两点,且
为线段
中点,再过
作直线
.证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)为坐标原点,斜率为
的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点
,
,若
,求△
的面积.
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在平面直角坐标系中,已知点及直线
,曲线
是满足下列两个条件的动点
的轨迹:①
其中
是
到直线
的距离;②
(1) 求曲线的方程;
(2) 若存在直线与曲线
、椭圆
均相切于同一点,求椭圆
离心率
的取值范围.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,长轴长为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
长轴上的一个动点,过
作方向向量
的直线
交椭圆
于
、
两点,求证:
为定值.
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