已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)为坐标原点,斜率为
的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点
,
,若
,求△
的面积.
(Ⅰ)(Ⅱ)1
解析试题分析:(Ⅰ)由椭圆的定义及椭圆的几何性质易得,
,即可得其椭圆方程。(Ⅱ)设出直线方程
,然后联立,消掉y(或x)得到关于x的一元二次方程,再根据韦达定理得出根与系数的关系式。先求出
再将
、
代入
求得
的值,由弦长公式求出
,再用点到线的距离公式其点
到直线
的距离,此距离即为△
底边
上的高。用三角形面积公式可求得△
的面积。
试题解析:解(Ⅰ)依题意有,
.
故椭圆方程为. 5分
(Ⅱ)因为直线过右焦点
,设直线
的方程为
.
联立方程组
消去并整理得
. (*)
故,
.
.
又,即
.
所以,可得
,即
.
方程(*)可化为,由
,可得
.
原点到直线
的距离
.
所以. 13分
考点:1椭圆的基础知识;2直线与椭圆的位置关系;3弦长公式;4点到直线的距离。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,分别以HF,EG所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,已知
=λ
,
=λ
,其中0<λ<1.
(1)求证:直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上;
(2)若点N是直线l:y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T.是否存在点N,使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
经过如下五个点中的三个点:
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点为椭圆
的左顶点,
为椭圆
上不同于点
的两点,若原点在
的外部,且
为直角三角形,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知
分别是椭圆
的左、右焦点,椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆
在第一象限上的任一点,连接
,过
点作斜率为
的直线
,使得
与椭圆
有且只有一个公共点,设直线
的斜率分别为
,
,试证明
为定值,并求出这个定值;
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作,设
交
于点
,
证明:当点在椭圆上移动时,点
在某定直线上.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的离心率为
且与双曲线
:
有共同焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆落在第一象限的图像上任取一点作
的切线
,求
与坐标轴围成的三角形的面积的最小值;
(3)设椭圆的左、右顶点分别为
,过椭圆
上的一点
作
轴的垂线交
轴于点
,若
点满足
,
,连结
交
于点
,求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知两点,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为
.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是
.
(1)若椭圆C上一动点满足
,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
定义:对于两个双曲线,
,若
的实轴是
的虚轴,
的虚轴是
的实轴,则称
,
为共轭双曲线.现给出双曲线
和双曲线
,其离心率分别为
.
(1)写出的渐近线方程(不用证明);
(2)试判断双曲线和双曲线
是否为共轭双曲线?请加以证明.
(3)求值:.
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