给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是
.
(1)若椭圆C上一动点满足
,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
(1)椭圆方程,伴随圆方程
;(2)
;(3)存在,
.
解析试题分析:(1)这是基本题,题设实质已知,要求椭圆标准方程,已知圆心及半径求圆的方程;(2)为了求
点坐标,我们可设直线
方程为
,直线
与椭圆只有一个公共点,即直线
的方程与椭圆的方程联立方程组,这个方程组只有一个解,消元后利用
可得
的一个方程,又直线
截圆所得弦长为
,又得一个关于
的方程,联立可解得
;(3)这是解析几何中的存在性问题,解决方法都是假设存在,然后去求出这个
,能求出就说明存在,不能求出就说明不存在.解法如下,写出过点
的直线方程,求出圆心到这条直线的距离为
,可见当圆半径不小于3时,圆上的点到这条直线的最短距离为0,即当
时,
,但由于
,无解,当圆半径小于3时,圆上的点到这条直线的最短距离为
,由此得
,又有
,可解得
,故存在.
试题解析:(1)由题意:,则
,所以椭圆
的方程为
, 2分
其“伴随圆”的方程为. 4分
(2)设直线的方程为
由得
6分
则有得
, ① 7分
由直线截椭圆
的“伴随圆”所得弦长为
,可得
,得
② 8分
由①②得,又
,故
,所以
点坐标为
. 10分
(3)过的直线的方程为:
,
即,得
12分
由于圆心到直线
的距离为
, 14分
当时,
,但
,所以,等式不能成立;
当时,
,
由得
所以
因为,所以
,
得.所以
18分
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)为坐标原点,斜率为
的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点
,
,若
,求△
的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知点及直线
,曲线
是满足下列两个条件的动点
的轨迹:①
其中
是
到直线
的距离;②
(1) 求曲线的方程;
(2) 若存在直线与曲线
、椭圆
均相切于同一点,求椭圆
离心率
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆(
)的右焦点为
,离心率为
.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于
,
两点,
分别为线段
的中点. 若坐标原点
在以
为直径的圆上,且
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的一个焦点为
,过点
且垂直于长轴的直线被椭圆
截得的弦长为
;
为椭圆
上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,
且
,求四边形
的面积的最大值和最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知、
为椭圆
的左、右焦点,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
交椭圆
于
两点,则
的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,长轴长为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
长轴上的一个动点,过
作方向向量
的直线
交椭圆
于
、
两点,求证:
为定值.
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