已知椭圆的一个焦点为
,过点
且垂直于长轴的直线被椭圆
截得的弦长为
;
为椭圆
上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,
且
,求四边形
的面积的最大值和最小值.
(Ⅰ) ;(Ⅱ) 2,
解析试题分析:(Ⅰ)依题意可得椭圆C的一个焦点为知
,在代入点
即可得得到一个关于
的等式从而可求出
的值,即可得椭圆的标准方程.
(Ⅱ) 由于,
所以直线
都过F点,从而又因为
所以直线
与直线
相互垂直.所以四边形
的面积为
.故关键是求出线段
的长度.首先要分类存在垂直于
轴的情况,和不垂直于
轴的情况两种.前者好求.后者通过假设一条直线联立椭圆方程写出弦长的式子,类似地写出另一条所得到的弦长.通过利用基本不等式即可求得面积的范围.从而再结合垂直于
轴的情况,求出最大值与最小值.
试题解析:(Ⅰ)由题椭圆C的一个焦点为知
故可设椭圆方程为
,过焦点
且与长轴垂直的直线方程为
,设此直线与椭圆交于A,B两点则
,又
,所以
,又
,联立求得
,
,故椭圆方程为
.
(Ⅱ)由,
知,点
共线,点
共线,
即直线经过椭圆焦点
。又
知,
(i)当斜率为零或不存在时,
(ii)当直线存在且不为零时,可设斜率为
,则由
知,
的斜率为
所以:直线方程为:
。直线
方程为:
将直线方程
代入椭圆方程
,消去
并化简整理可得
,
设坐标为
,则
,
…………①
从而,将①代入化简得
,
将中
换成
可得
,
所以=
.
令,因为
,所以
,故
,所以
,当且仅当
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如图,已知椭圆:
的离心率为
,点
为其下焦点,点
为坐标原点,过
的直线
:
(其中
)与椭圆
相交于
两点,且满足:
.
(1)试用 表示
;
(2)求 的最大值;
(3)若 ,求
的取值范围.
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已知椭圆:
的离心率为
且与双曲线
:
有共同焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆落在第一象限的图像上任取一点作
的切线
,求
与坐标轴围成的三角形的面积的最小值;
(3)设椭圆的左、右顶点分别为
,过椭圆
上的一点
作
轴的垂线交
轴于点
,若
点满足
,
,连结
交
于点
,求证:
.
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给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是
.
(1)若椭圆C上一动点满足
,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,长轴长为
,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
长轴上的一个动点,过
作方向向量
的直线
交椭圆
于
、
两点,求证:
为定值.
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已知椭圆C的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为
,且椭圆经过点
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)线段是椭圆过点
的弦,且
,求
内切圆面积最大时实数
的值.
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已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点. 问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由.
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已知椭圆的离心率为
,直线
与以原点为圆心,以椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)抛物线与椭圆
有公共焦点,设
与
轴交于点
,不同的两点
、
在
上(
、
与
不重合),且满足
,求
的取值范围.
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