已知椭圆C的左、右焦点分别为
，椭圆的离心率为
，且椭圆经过点
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）线段
是椭圆过点
的弦，且
，求
内切圆面积最大时实数
的值.
（1）
；（2）
，
.
解析试题分析：本题主要考查直线、椭圆的标准方程及其性质，考查思维能力，运算能力.第一问，利用离心率
和椭圆过定点
求椭圆的标准方程；第二问，分两种情况：当直线与
轴垂直时，比较直观，可求得
，而当直线不与轴垂直时，设出直线的方程，让它与椭圆联立，消去参数，得到两根之和、两根之积，代入到
中，通过配方法求面积的最大值，利用内切圆半径
列出
的面积，解出的范围，得到
，此时直线与轴垂直，所以.
试题解析：（1）
，又
4分
（2）显然直线不与轴重合
当直线与轴垂直时，||=3，
，
； 5分
当直线不与轴垂直时，设直线：
代入椭圆C的标准方程，
整理，得
7分
令
所以
由上，得
所以当直线与轴垂直时
最大，且最大面积为3 10分
设内切圆半径，则
即，此时直线与轴垂直，内切圆面积最大
所以，
12分
考点：1.椭圆的标准方程；2.直线的标准方程；3.韦达定理；4.三角形面积公式；5.配方法求最值.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系中，已知点
及直线
，曲线
是满足下列两个条件的动点
的轨迹：①
其中
是
到直线
的距离；②
(1) 求曲线的方程;
(2) 若存在直线
与曲线、椭圆
均相切于同一点，求椭圆
离心率
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的一个焦点为
，过点
且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为
；
为椭圆上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若
，
且
，求四边形
的面积的最大值和最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
、
为椭圆
的左、右焦点，且点
在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过
的直线
交椭圆于
两点，则
的内切圆的面积是否存在最大值？
若存在其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M
满足
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线L：y=
与椭圆恒有不同交点A，B，且
（O为坐标原点），求实数k的范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，长轴长为
，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设
是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量
的直线
交椭圆于
、
两点，求证：
为定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点，
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且
与的两个交点A和B满足
（其中0为原点），求k的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
（1）如果直线l过抛物线的焦点，求
·
的值；
（2）如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
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，其准线方程为
，过准线与
轴的交点
做直线
交抛物线于
两点.
为
中点，求直线
，当
时，求
的面积．