Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²＝4x相交于不同的A、B两点．
（1）如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
（2）如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

（1）；（2）过定点。

解析试题分析：抛物线的焦点在轴上，直线过焦点且与抛物线相交，这条直线可能与垂直，但不可能与垂直，因此这种直线方程可设为的形式，可避免讨论斜率存在不存在的问题。直线与抛物线相交于两点，我们一般设，则，而这里的，可以让直线方程和抛物线方程联立方程组得出。（1）中直线方程可设为，（2）中直线方程可设为，（2）与（1）的区别在于最后令，求出。
试题解析：（1）由题意：抛物线焦点为，
设，代入抛物线方程中得，
，
设，则，
∴
。
（2）设，代入抛物线方程中得，
，
设，则，
∴
，
令，∴，，
∴直线过定点，∴若，则直线必过一定点。
考点：直线与抛物线相交问题，与向量的数量积。