在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆
的圆心.
⑴求椭圆E的方程;
⑵设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线
,当直线
都与圆
相切时,求P点坐标.
(1);(2)
.
解析试题分析:(1)圆心坐标是已知的,故椭圆的焦点是已知的,从而半焦距已知了,又有离心率,故半长轴长
也能求出,从而求出
,而根据题意,椭圆方程是标准方程,可其方程易得;(2)设P点坐标为
,再设一条切线的斜率为
,则另一条切线的斜率为
,三个未知数
需要三个方程,点P在椭圆上,一个等式,两条直线都圆的切线,利用圆心到切线的距离等于圆的半径又得到两个等式,三个等量关系,三个未知数理论上可解了,当然具体解题时,可设切线斜率为
,则点斜率式写出直线方程,利用圆心到切线距离等于圆半径得出关于
的方程,而
是这个方程的两解,由韦达定理得
,这个结果又是
,就列出了关于P点坐标的一个方程,再由P点在椭圆上,可解出P点坐标.
试题解析:(1)圆的标准方程为,圆心为
,所以
,又
,
,
,而据题意椭圆的方程是标准方程,故其方程为
. 4分
(2)设,得
∵,依题意
到
的距离为
整理得同理
∴是方程
的两实根 10分
12分
∴ 14分
16分
考点:(1)椭圆的标准方程;(2)圆的切线.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的两个焦点为F1,F2,椭圆上一点M
满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线L:y=与椭圆恒有不同交点A,B,且
(O为坐标原点),求实数k的范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线
:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.
(1)如果直线l过抛物线的焦点,求·
的值;
(2)如果·
=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆,若焦点在
轴上的椭圆
过点
,且其长轴长等于圆
的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
与
,
与圆
交于
、
两点,
交椭圆于另一点
,设直线
的斜率为
,求弦
长;
(3)求面积的最大值.
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已知双曲线的离心率为
,右准线方程为
,
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上,求m的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(2,0)的直线与椭圆
相交于两点
,设
为椭圆上一点,且满足
(
为坐标原点),当
时,求实数
取值范围.
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