已知椭圆C:的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(2,0)的直线与椭圆
相交于两点
,设
为椭圆上一点,且满足
(
为坐标原点),当
时,求实数
取值范围.
(1) ;(2)
.
解析试题分析:(1)先根据圆心到直线的距离等于半径,求出圆的半径即椭圆短半轴的长,然后由离心率求出和
的关系,进而得到
的值,写出椭圆方程即可;(2)先设出直线方程,再由直线方程与椭圆方程联立方程组,求得
,
两点的横坐标满足的方程
,它的判别式大于零得到
,然后由已知条件
,结合两点间的距离公式以及根与系数的关系求得,
,从而解得
,根据已知有
以及点
在椭圆上,先求出点
的坐标,然后代入椭圆方程可知
,结合求解的
,即可得到
的解集.
试题解析:(1)由题意知,短半轴长为:,
∵,∴
,
即,∴
,
故椭圆的方程为:
. 2分
(2)由题意知,直线的斜率存在,设直线
:
,
设,
,
,
由得,
.
,解得
. 4分
.
∵,∴
,
解得,
.
∵点在椭圆上,∴
,
∴. ..7分
∵,∴
,
∴,
∴,
∴,∴
10分
∴,
∵,∴
,
∴或
,
∴实数取值范围为
. 12分
考点:1.椭圆的标准方程;2.点到直线的距离公式;3.方程的根与系数的关系;4.解不等式;5.平面向量的坐标运算
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆E:=1(
)过点M(2,
), N(
,1),
为坐标原点
(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆
的圆心.
⑴求椭圆E的方程;
⑵设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线
,当直线
都与圆
相切时,求P点坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆,
、
是其左右焦点,离心率为
,且经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若、
分别是椭圆长轴的左右端点,
为椭圆上动点,设直线
斜率为
,且
,求直线
斜率的取值范围;
(3)若为椭圆上动点,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=
.
(Ⅰ)求点S的坐标;
(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=
|NE|,求cos∠MSN的值.
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在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左焦点为
,且椭圆
的离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的上下顶点分别为
,
是椭圆
上异于
的任一点,直线
分别交
轴于点
,证明:
为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆上,是否存在点
,使得直线
与圆
相交于不同的两点
,且
的面积最大?若存在,求出点
的坐标及对应的
的面积;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
知椭圆的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
,直线l的方程为:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线l与椭圆相交于
、
两点
①若线段中点的横坐标为
,求斜率
的值;
②已知点,求证:
为定值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的焦点坐标为
,过
的直线交抛物线
于
两点,直线
分别与直线
:
相交于
两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.
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