在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左焦点为
,且椭圆
的离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的上下顶点分别为
,
是椭圆
上异于
的任一点,直线
分别交
轴于点
,证明:
为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆上,是否存在点
,使得直线
与圆
相交于不同的两点
,且
的面积最大?若存在,求出点
的坐标及对应的
的面积;若不存在,请说明理由.
(1);(2)
;(3)存在点
满足题意,点
的坐标为
,
的面积为
.
解析试题分析:(1)由题目给出的条件直接列关于的方程组求解
的值,则椭圆方程可求;(2)由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标,设出椭圆上的动点
,由直线方程的两点式写出直线
的方程,取
后得到
和
的长度,结合点
在椭圆上整体化简运算可证出
为定值;(3)假设存在点
,使得直线
与圆
,相交于不同的两点
,且
的面积最大,由点
在椭圆上得到关于
和
的关系式,由点到直线的距离公式求出原点
到直线的距离,由圆中的半径,半弦长和弦心距之间的关系求出弦长,写出
的面积后利用基本不等式求面积的最大值,利用不等式中等号成立的条件得到关于
和
的另一关系式,联立后可求解
的坐标.
试题解析:
(1)由题意:,解得:
所以椭圆
(2) 由(1)可知,设
,
直线:
,令
,得
;
直线:
,令
,得
;
则,
而,所以
,
所以
(3)假设存在点满足题意,则
,即
设圆心到直线的距离为
,则
,且
所以
所以
因为,所以
,所以
所以
当且仅当,即
时,
取得最大值
由,解得
所以存在点满足题意,点
的坐标为
此时的面积为
.
考点:本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单几何性质,考查了直线和圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知两点及
,点
在以
、
为焦点的椭圆
上,且
、
、
构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆
有且仅有一个公共点,点
是直线
上的两点,且
,
. 求四边形
面积
的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆,若焦点在
轴上的椭圆
过点
,且其长轴长等于圆
的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
与
,
与圆
交于
、
两点,
交椭圆于另一点
,设直线
的斜率为
,求弦
长;
(3)求面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当的角平分线垂直
轴时,求直线
的斜率;
(Ⅲ)若直线在
轴上的截距为
,求
的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(2,0)的直线与椭圆
相交于两点
,设
为椭圆上一点,且满足
(
为坐标原点),当
时,求实数
取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)。
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为,求以
为焦点且过
点的双曲线的标准方程。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点、
.记其上顶点为
,右顶点为
.
(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点
,使
的面积最大.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线(a>0,b>0)的离心率
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是
.
(Ⅰ)求双曲线的方程及渐近线方程;
(Ⅱ)若直线y=kx+5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com