已知圆,若焦点在
轴上的椭圆
过点
,且其长轴长等于圆
的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
与
,
与圆
交于
、
两点,
交椭圆于另一点
,设直线
的斜率为
,求弦
长;
(3)求面积的最大值.
(1);(2)
;(3)
.
解析试题分析:(1)由题意可知,又因为椭圆过点
,代入方程可求得
,从而得到标准方程;(2)可设直线
的方程为
,根据点到直线的距离公式求出弦心距,再根据勾股定理可算出半弦长,从而得到弦长
;(3)因为
,故直线
的方程为
,和椭圆的方程联立方程组,从而求出
的长,则三角形
的面积为
,利用基本不等式求出最大值.
试题解析:
(1)由题意得,,所以椭圆C的方程为
.
(2)设,由题意知直线
的斜率存在,不妨设其为
,则直线
的方程为
,
又圆O:,故点O到直线
的距离
,
所以.
(3)因为,故直线
的方程为
,
由消去
,整理得
,
故,所以
,
设的面积为S,则
,
所以,
当且仅当时取等号.
考点:本题考查的知识点是椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系,以及基本不等式的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率
,一条准线方程为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若以>0)为斜率的直线
与椭圆
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,已知圆为圆上一动点,点
是线段
的垂直平分线与直线
的交点.
(1)求点的轨迹曲线
的方程;
(2)设点是曲线
上任意一点,写出曲线
在点
处的切线
的方程;(不要求证明)
(3)直线过切点
与直线
垂直,点
关于直线
的对称点为
,证明:直线
恒过一定点,并求定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线,
、
是双曲线的左右顶点,
是双曲线上除两顶点外的一点,直线
与直线
的斜率之积是
,
求双曲线的离心率;
若该双曲线的焦点到渐近线的距离是,求双曲线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆
的圆心.
⑴求椭圆E的方程;
⑵设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线
,当直线
都与圆
相切时,求P点坐标.
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在直角坐标系中,为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
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已知椭圆,
、
是其左右焦点,离心率为
,且经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若、
分别是椭圆长轴的左右端点,
为椭圆上动点,设直线
斜率为
,且
,求直线
斜率的取值范围;
(3)若为椭圆上动点,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左焦点为
,且椭圆
的离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的上下顶点分别为
,
是椭圆
上异于
的任一点,直线
分别交
轴于点
,证明:
为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆上,是否存在点
,使得直线
与圆
相交于不同的两点
,且
的面积最大?若存在,求出点
的坐标及对应的
的面积;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心为原点,长轴长为
,一条准线的方程为
.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)射线与椭圆的交点为
,过
作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于
两点(
两点异于
).求证:直线
的斜率为定值.
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