已知椭圆,
、
是其左右焦点,离心率为
,且经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若、
分别是椭圆长轴的左右端点,
为椭圆上动点,设直线
斜率为
,且
,求直线
斜率的取值范围;
(3)若为椭圆上动点,求
的最小值.
(1)椭圆的方程为
;(2)直线
的斜率的取值范围是
;
(3)的最小值是
.
解析试题分析:(1)利用离心率以及确定
、
之间的等量关系,然后将点
的坐标代入椭圆
的方程求出
、
,从而确定椭圆
的标准方程;(2)设直线
的斜率为
,并设点
的坐标为
,利用点
在椭圆上以及斜率公式得到
,进而利用
的取值范围可以求出
的取值范围;(3)利用已知条件
,利用余弦定理得到
,结合基本不等式求出
的最小值.
试题解析:(1),故椭圆
的方程为
;
(2)设的斜率为
,设点
,
则,
,
及
,
则=
又
,
,故
斜率的取值范围为
;
(3)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为、
、
,则有
,
,
,
,
由椭圆定义,有,
的最小值为
.
(当且仅当时,即
取椭圆上下顶点时,
取得最小值)
考点:1.椭圆的标准方程;2.点差法;3.余弦定理;4.基本不等式
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的左、右顶点分别为
、
,离心率
.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点,且,求直线MN的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆,若焦点在
轴上的椭圆
过点
,且其长轴长等于圆
的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
与
,
与圆
交于
、
两点,
交椭圆于另一点
,设直线
的斜率为
,求弦
长;
(3)求面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的离心率为
,右准线方程为
,
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上,求m的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当的角平分线垂直
轴时,求直线
的斜率;
(Ⅲ)若直线在
轴上的截距为
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(2,0)的直线与椭圆
相交于两点
,设
为椭圆上一点,且满足
(
为坐标原点),当
时,求实数
取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点、
.记其上顶点为
,右顶点为
.
(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点
,使
的面积最大.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在轴上方有一段曲线弧
,其端点
、
在
轴上(但不属于
),对
上任一点
及点
,
,满足:
.直线
,
分别交直线
于
,
两点.
(Ⅰ)求曲线弧的方程;
(Ⅱ)求的最小值(用
表示);
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