设椭圆的左、右顶点分别为、,离心率.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点,且,求直线MN的方程.
(1);(2) ;(3)或.
解析试题分析:(1)要求椭圆的方程,就要知道a,b,由点A知道a=,由离心率可求得c,由a2=b2+c2进而求出b=1;(2)求动点的轨迹方程,首先设,,利用用C点表示P点坐标,,代入椭圆方程,从而得到动点C的轨迹;(3)直线MN被椭圆截得的弦长,直线MN斜率分两种情况,斜率存在和斜率不存在,斜率不存在是,直线MN方程为x="1," ,舍掉,斜率存在式,设直线MN的方程为,联立直线和椭圆方程,利用根与系数关系和可以求出k.
试题解析:(1)由题意可得,,,
∴,
∴,
∴椭圆的方程为.
(2)设,,由题意得,即,
又,代入得,即,
即动点的轨迹的方程为.
(3) 若直线MN的斜率不存在,则方程为,所以,
∴直线MN的斜率存在,设为k,直线MN的方程为,
由,得,
∵,
∴,
设M ,则
∴,
即,
解得.
故直线MN的方程为或.
考点:1.椭圆;2.动点轨迹;3.求直线方程.
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已知椭圆C:的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点,设点A关于x轴的
对称点为A1.求证:直线A1B过x轴上一定点,并求出此定点坐标.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆长轴上的一个动点,过作方向向量的直线交椭圆于、两点,求证:为定值.
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(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率,一条准线方程为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若以>0)为斜率的直线与椭圆相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围。
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已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点. 问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由.
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设椭圆E:=1()过点M(2,), N(,1),为坐标原点
(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在以原点为圆心的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由。
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如图所示,已知圆为圆上一动点,点是线段的垂直平分线与直线的交点.
(1)求点的轨迹曲线的方程;
(2)设点是曲线上任意一点,写出曲线在点处的切线的方程;(不要求证明)
(3)直线过切点与直线垂直,点关于直线的对称点为,证明:直线恒过一定点,并求定点的坐标.
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已知椭圆,、是其左右焦点,离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若、分别是椭圆长轴的左右端点,为椭圆上动点,设直线斜率为,且,求直线斜率的取值范围;
(3)若为椭圆上动点,求的最小值.
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