如图所示,已知圆为圆上一动点,点
是线段
的垂直平分线与直线
的交点.
(1)求点的轨迹曲线
的方程;
(2)设点是曲线
上任意一点,写出曲线
在点
处的切线
的方程;(不要求证明)
(3)直线过切点
与直线
垂直,点
关于直线
的对称点为
,证明:直线
恒过一定点,并求定点的坐标.
(1);(2)
;(3)证明见解析,定点为
.
解析试题分析:(1)本题动点依赖于圆上中
,本来这种问题可以用动点转移法求轨迹方程,但本题用动点转移法会很繁,考虑到圆的半径不变,垂直平分线的对称性,我们可以看出
,是定值,而且
,因此
点轨迹是椭圆,这样我们可以利用椭圆标准方程写出所求轨迹方程;(2)圆锥曲线的过其上点
的切线方程,椭圆
,切线为
,
双曲线,切线为
,抛物线
,切线为
;(3)这题考查同学们的计算能力,现圆锥曲线切线有关的问题,由(2)我们知道切线斜率为
,则直线
的斜率为
,又过点
,可以写出直线
方程,然后求出点
关于直线
的对称点
的坐标,从而求出直线
的方程,接着可从
的方程观察出是不是过定点,过哪个定点?这里一定要小心计算.
试题解析:(1)点
是线段
的垂直平分线,∴
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.
椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴曲线E的方程为 5′
(2)曲线在点
处的切线
的方程是
. 8′
(3)直线的方程为
,即
.
设点关于直线
的对称点的坐标为
,
则,解得
直线PD的斜率为
从而直线PD的方程为:
即, 从而直线PD恒过定点
. 16′
考点:(1)椭圆的定义;(2)椭圆的切线方程;(3)垂直,对称,直线过定点问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆与双曲线
有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线
于M、N两点,且
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的左、右顶点分别为
、
,离心率
.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点,且,求直线MN的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知两点及
,点
在以
、
为焦点的椭圆
上,且
、
、
构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆
有且仅有一个公共点,点
是直线
上的两点,且
,
. 求四边形
面积
的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线
:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知、
分别是椭圆
的左、右焦点,右焦点
到上顶点的距离为2,若
.
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)点是椭圆的右顶点,直线
与椭圆交于
、
两点(
在第一象限内),又
、
是此椭圆上两点,并且满足
,求证:向量
与
共线.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆,若焦点在
轴上的椭圆
过点
,且其长轴长等于圆
的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
与
,
与圆
交于
、
两点,
交椭圆于另一点
,设直线
的斜率为
,求弦
长;
(3)求面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点、
.记其上顶点为
,右顶点为
.
(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点
,使
的面积最大.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com