Question

椭圆与双曲线有公共的焦点，过椭圆E的右顶点作任意直线l，设直线l交抛物线于M、N两点，且．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．

Answer 1

(1) ；(2) .证明见解析.

解析试题分析：(1)设点,
设直线 ,代入并整理得
利用


 解得，再由求得.
(2) 首先判断得出.可通过证明或，达到目的.
设,得到,且
将直线的方程代入椭圆的方程并整理得到由得证.
试题解析：(1)设点,
设直线 ,代入并整理得
所以        2分
故有


 解得       5分
又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有
所以椭圆的方程为 .          7分
(2)
证明：设,则,且
将直线的方程代入椭圆的方程并整理得
      9分
由题意可知此方程必有一根
 ,
所以    12分
故有 , 即         13分
考点：椭圆的标准方程，平面向量的坐标运算，直线与抛物线的位置关系.