如图,是椭圆
的左、右顶点,椭圆
的离心率为
,右准线
的方程为
.
(1)求椭圆方程;
(2)设是椭圆
上异于
的一点,直线
交
于点
,以
为直径的圆记为
. ①若
恰好是椭圆
的上顶点,求
截直线
所得的弦长;
②设与直线
交于点
,试证明:直线
与
轴的交点
为定点,并求该定点的坐标.
(1) (2) ①
②
解析试题分析:(1)求椭圆方程,基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中三个未知数的确定只需两个独立条件,由
可得
值,(2) ①求圆被直线所截得弦长时,利用半径、半弦长、圆心到直线距离三者成勾股列等量关系,先分别确定直线
的方程
与圆K的方程
,②证明直线
与
轴的交点
为定点,实质为求直线
与
轴的交点.由①知,点
是关键点,不妨设点
的坐标作为参数,先表示直线
的方程,与圆的方程联立解出点P的坐标.由
得直线
的斜率,从而得直线
的方程,再令
,得点R的横坐标为
,利用点M满足
化简得
试题解析:(1)由,解得
,故
(2)①因为,所以直线
的方程为
,从而
的方程为
6分
又直线的方程为
,故圆心到直线
的距离为
8分
从而截直线
所得的弦长为
9分
②证:设,则直线
的方程为
,则点P的坐标为
,又直线
的斜率为
,而
,
所以,从而直线
的方程为
12分
令,得点R的横坐标为
13分
又点M在椭圆上,所以,即
,故
,
所以直线与
轴的交点
为定点,且该定点的坐标为
15分
考点:椭圆方程,直线与圆锥曲线位置关系,圆的弦长
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设直线l:x-y+m=0与抛物线C:y2=4x交于不同两点A,B,F为抛物线的焦点.
(1)求△ABF的重心G的轨迹方程;
(2)如果m=-2,求△ABF的外接圆的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-,点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M,N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求证,A,D,N三点共线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
抛物线在点
,
处的切线垂直相交于点
,直线
与椭圆
相交于
,
两点.
(1)求抛物线的焦点
与椭圆
的左焦点
的距离;
(2)设点到直线
的距离为
,试问:是否存在直线
,使得
,
,
成等比数列?若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,P是椭圆上一点,且
面积的最大值等于2.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点M(0,2)作直线与直线
垂直,试判断直线
与椭圆的位置关系5
(3)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆与双曲线
有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线
于M、N两点,且
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.
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