已知抛物线的焦点坐标为
,过
的直线交抛物线
于
两点,直线
分别与直线
:
相交于
两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.
(1);(2)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题主要考查抛物线、直线的方程,以及直线与抛物线的位置关系,突出解析几何的基本思想和方法的考查:如数形结合思想、坐标化方法等.第一问,利用抛物线的标准方程,利用焦点坐标求出,代入即可;第二问,讨论直线
垂直和不垂直
轴2种情况,当直线
垂直于
轴时,2个三角形相似,面积比为定值,当直线
不垂直于
轴时,设出直线
的方程,设出
四个点坐标,利用直线
与抛物线相交列出方程组,消参得到方程,利用两根之积得
为定值,而面积比值与
有关,所以也为定值.
试题解析:(1)由焦点坐标为 可知
所以,所以抛物线
的方程为
5分
(2)当直线垂直于轴时,
与
相似,
所以, 7分
当直线与轴不垂直时,设直线AB方程为
,
设,
,
,
,
解 整理得
, 9分
所以, 10分
,
综上 12分
考点:1.抛物线的标准方程;2.直线方程;3.根与系数关系;4.三角形面积公式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(2,0)的直线与椭圆
相交于两点
,设
为椭圆上一点,且满足
(
为坐标原点),当
时,求实数
取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点、
.记其上顶点为
,右顶点为
.
(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点
,使
的面积最大.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知圆心坐标为的圆
与
轴及直线
均相切,切点分别为
、
,另一圆
与圆
、
轴及直线
均相切,切点分别为
、
.
(1)求圆和圆
的方程;
(2)过点作
的平行线
,求直线
被圆
截得的弦的长度;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在轴上方有一段曲线弧
,其端点
、
在
轴上(但不属于
),对
上任一点
及点
,
,满足:
.直线
,
分别交直线
于
,
两点.
(Ⅰ)求曲线弧的方程;
(Ⅱ)求的最小值(用
表示);
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
点P是椭圆外的任意一点,过点P的直线PA、PB分别与椭圆相切于A、B两点。
(1)若点P的坐标为,求直线
的方程。
(2)设椭圆的左焦点为F,请问:当点P运动时,是否总是相等?若是,请给出证明。
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