知椭圆的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
,直线l的方程为:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线l与椭圆相交于
、
两点
①若线段中点的横坐标为
,求斜率
的值;
②已知点,求证:
为定值
(Ⅰ);(Ⅱ)(1)
,(2)定值为
解析试题分析:(1)椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形,可以看作是以长为底边,高为
的等腰三角形,故面积为
,从而可以列出等式
,又由离心率得
及
,可解出
,从而求出椭圆的方程 (2)直线和椭圆相交,其方程联立方程组,消去
,可得关于
的二次方程,利用韦达定理可得
,这就是相交弦的中点的横坐标,从而求出
,把
用坐标表示出来,借助(1)中的二次方程得出的
代入,就可证明出定值
试题解析:(Ⅰ)因为满足
,
, 2分
,解得
,
,
则椭圆方程为 4分
(Ⅱ)(1)设,将
代入
并化简得
6分
,
则是上述方程的解
, 7分
因为的中点的横坐标为
,所以
,解得
9分
(2)由(1),
,
,为定值
考点:(Ⅰ)椭圆的标准方程与几何性质;(Ⅱ)直线与椭圆的位置关系问题
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线
:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的离心率为
,右准线方程为
,
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上,求m的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(2,0)的直线与椭圆
相交于两点
,设
为椭圆上一点,且满足
(
为坐标原点),当
时,求实数
取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
矩形的中心在坐标原点,边
与
轴平行,
=8,
=6.
分别是矩形四条边的中点,
是线段
的四等分点,
是线段
的四等分点.设直线
与
,
与
,
与
的交点依次为
.
(1)求以为长轴,以
为短轴的椭圆Q的方程;
(2)根据条件可判定点都在(1)中的椭圆Q上,请以点L为例,给出证明(即证明点L在椭圆Q上).
(3)设线段的
(
等分点从左向右依次为
,线段
的
等分点从上向下依次为
,那么直线
与哪条直线的交点一定在椭圆Q上?(写出结果即可,此问不要求证明)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点、
.记其上顶点为
,右顶点为
.
(1)求圆心在线段上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧上求一点
,使
的面积最大.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知圆心坐标为的圆
与
轴及直线
均相切,切点分别为
、
,另一圆
与圆
、
轴及直线
均相切,切点分别为
、
.
(1)求圆和圆
的方程;
(2)过点作
的平行线
,求直线
被圆
截得的弦的长度;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
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