已知两点,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为
.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
(Ⅰ)(
);(Ⅱ)
.
解析试题分析:(Ⅰ)设点 的坐标为
则,
,化简可得轨迹方程.
(Ⅱ)设出直线PE、PF的点斜式方程,分别求出它们与圆(
)相切条件下与曲线C的另一交个交点Q、R.的坐标,写出直线
的方程,点到直线的距离公式可求
的底边
上的高.进而得出
面积的表达式,再探索用基本不等式求该式最值的方法.
试题解析:(Ⅰ)设点,
2分
整理得点M所在的曲线C的方程:(
) 3分
(Ⅱ)由题意可得点P() 4分
因为圆的圆心为(1,0),
所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数
----------5分
设直线PE的方程为,
与椭圆方程联立消去,得:
, 6分
由于1是方程的一个解,
所以方程的另一解为 7分
同理 8分
故直线RQ的斜率为=
9分
把直线RQ的方程代入椭圆方程,消去
整理得
所以 10分
原点O到直线RQ的距离为 11分
. 12分
考点:1、动点轨迹方程的求法;2、直线与圆、圆锥曲线的位置关系;3、基本不等式的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知中心在原点的椭圆C:
的一个焦点为F1(0,3),M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点,△MOF1的面积为
.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)为坐标原点,斜率为
的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点
,
,若
,求△
的面积.
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已知点在抛物线
:
上.
(1)若的三个顶点都在抛物线
上,记三边
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,求
的值;
(2)若四边形的四个顶点都在抛物线
上,记四边
,
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知点及直线
,曲线
是满足下列两个条件的动点
的轨迹:①
其中
是
到直线
的距离;②
(1) 求曲线的方程;
(2) 若存在直线与曲线
、椭圆
均相切于同一点,求椭圆
离心率
的取值范围.
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已知椭圆(
)的右焦点为
,离心率为
.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于
,
两点,
分别为线段
的中点. 若坐标原点
在以
为直径的圆上,且
,求
的取值范围.
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已知、
为椭圆
的左、右焦点,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
交椭圆
于
两点,则
的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的焦点为
,准线为
,点
为抛物线C上的一点,且
的外接圆圆心到准线的距离为
.
(I)求抛物线C的方程;
(II)若圆F的方程为,过点P作圆F的2条切线分别交
轴于点
,求
面积的最小值时
的值.
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