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已知两点,直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).

(Ⅰ));(Ⅱ) .

解析试题分析:(Ⅰ)设点 的坐标为 则, ,化简可得轨迹方程.
(Ⅱ)设出直线PE、PF的点斜式方程,分别求出它们与圆)相切条件下与曲线C的另一交个交点Q、R.的坐标,写出直线的方程,点到直线的距离公式可求的底边上的高.进而得出面积的表达式,再探索用基本不等式求该式最值的方法.
试题解析:(Ⅰ)设点      2分
整理得点M所在的曲线C的方程:)          3分

(Ⅱ)由题意可得点P()             4分
因为圆的圆心为(1,0),
所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数
----------5分
设直线PE的方程为
与椭圆方程联立消去,得:
,         6分
由于1是方程的一个解,
所以方程的另一解为            7分
同理                 8分
故直线RQ的斜率为
=     9分
把直线RQ的方程代入椭圆方程,消去整理得
所以         10分
原点O到直线RQ的距离为               11分
.    12分
考点:1、动点轨迹方程的求法;2、直线与圆、圆锥曲线的位置关系;3、基本不等式的应用.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知中心在原点的椭圆C:的一个焦点为F1(0,3),M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点,△MOF1的面积为.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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已知曲线.
(1)若曲线是焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;
(2)设,过点的直线与曲线交于,两点,为坐标原点,若为直角三角形,求直线的斜率.

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已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为,且过点
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)为坐标原点,斜率为的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点,若,求△的面积.

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已知点在抛物线上.
(1)若的三个顶点都在抛物线上,记三边所在直线的斜率分别为,求的值;
(2)若四边形的四个顶点都在抛物线上,记四边所在直线的斜率分别为,求的值.

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在平面直角坐标系中,已知点及直线,曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹:①其中到直线的距离;②
(1) 求曲线的方程;
(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点,求椭圆离心率的取值范围.

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已知椭圆)的右焦点为,离心率为.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.

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已知为椭圆的左、右焦点,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆两点,则的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

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已知抛物线的焦点为,准线为,点为抛物线C上的一点,且的外接圆圆心到准线的距离为

(I)求抛物线C的方程;
(II)若圆F的方程为,过点P作圆F的2条切线分别交轴于点,求面积的最小值时的值.

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