Question

已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为F₁(0,3)，M(x,4)(x＞0)为椭圆C上一点，△MOF₁的面积为.
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1） （2） 符合题意的直线存在，且所求的直线的方程为或.

解析试题分析：（1） 求椭圆C的方程，根据椭圆的焦点为，可得椭圆的方程为，利用椭圆上一点，利用的面积为，可求出的坐标，将的坐标代入椭圆的方程，即可确定椭圆的方程；（2） 这是探索性命题，可假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程代入椭圆方程，消去y，可得一元二次方程，利用韦达定理，结合以线段AB为直径的圆恰好经过原点，得，利用即可求得结论．
试题解析：（1） 因为椭圆C的一个焦点为F₁(0,3)，
所以b²＝a²＋9.
则椭圆C的方程为＋＝1.
因为x＞0，所以＝×3×x＝，解得x＝1.
故点M的坐标为(1,4)．
因为M(1,4)在椭圆上，
所以＋＝1，得a⁴－8a²－9＝0，解得a²＝9或a²＝－1(不合题意，舍去)，
则b²＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为.       6分
（2） 假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点，
其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)．
由消去y化简得18x²＋8mx＋m²－18＝0.
进而得到x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.
因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，
所以Δ＝(8m)²－4×18×(m²－18)＞0，
化简得m²＜162，解得－9＜m＜9.
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以＝0，
所以x₁x₂＋y₁y₂＝0.
又y₁y₂＝(4x₁＋m)(4x₂＋m)＝16x₁x₂＋4m(x₁＋x₂)＋m²，
x₁x₂＋y₁y₂＝17x₁x₂＋4m(x₁＋x₂)＋m²＝－＋m²＝0.
解得m＝±.
由于±∈(－9，9)，
所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y＝4x＋或y＝4x－.    13分
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．