已知动直线与椭圆交于、两不同点,且△的面积=,其中为坐标原点.
(1)证明和均为定值;
(2)设线段的中点为,求的最大值;
(3)椭圆上是否存在点,使得?若存在,判断△的形状;若不存在,请说明理由.
(1)证明详见解析;(2);(3)不存在点满足要求.
解析试题分析:(1)先检验直线斜率不存在的情况,后假设直线的方程,利用弦长公式求出的长,利用点到直线的距离公式求点到直线的距离,根据三角形的面积公式,即可求得与均为定值;(2)由(1)可求线段的中点的坐标,代入并利用基本不等式求最值;(3)假设存在,使得,由(1)得,,从而求得点的坐标,可以求出直线的方程,从而得到结论.
试题解析:(1)当直线的斜率不存在时,P,Q两点关于轴对称,所以
因为在椭圆上,因此 ①
又因为所以 ②
由①、②得,此时 2分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为
由题意知,将其代入,得
其中即 (*)
又
所以
因为点到直线的距离为
所以
又,整理得,且符合(*)式
此时
综上所述,结论成立 5分
(2)解法一:
(1)当直线的斜率不存在时,由(I)知
因此 6分
(2)当直线的斜率存在时,由(I)知
所以
所以,当且仅当,即时,等号成立
综合(1)(2)得的最大值为 9分
解法二:因为
所以
即当且仅当时等号成立
因此的最大值为 9分
(3)椭圆C上不存在三点,使得 10分
证明:假设存在满足
由(I)得
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知中心在原点的椭圆C:的一个焦点为F1(0,3),M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点,△MOF1的面积为.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点,点A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于轴上方,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求点P的坐标;
(3)设M是直角三角PAF的外接圆圆心,求椭圆C上的点到点M的距离的最小值.
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如图,已知椭圆: 的离心率为 ,点 为其下焦点,点为坐标原点,过 的直线 :(其中)与椭圆 相交于两点,且满足:.
(1)试用 表示 ;
(2)求 的最大值;
(3)若 ,求 的取值范围.
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已知椭圆()的右焦点为,离心率为.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于,两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.
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