Question

如图，已知椭圆： 的离心率为 ，点 为其下焦点，点为坐标原点，过 的直线 ：（其中）与椭圆 相交于两点，且满足：.

（1）试用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.

解析试题分析：（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.
试题解析：（1）联立方程消去，化简得    1分
设，则有，           3分

∵
∴  5分
∴即                   6分
（2）由（1）知∴，∴        8分
∴   ∴离心率的最大值为                  10分
(3)∵ ∴        ∴          12分
解得  ∴即
∴的取值范围是                  14分.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.