在平面直角坐标系中,已知
分别是椭圆
的左、右焦点,椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆
在第一象限上的任一点,连接
,过
点作斜率为
的直线
,使得
与椭圆
有且只有一个公共点,设直线
的斜率分别为
,
,试证明
为定值,并求出这个定值;
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作,设
交
于点
,
证明:当点在椭圆上移动时,点
在某定直线上.
(Ⅰ)椭圆的方程为
;(Ⅱ)3;(III)点
在直线
上.
解析试题分析:(Ⅰ)由抛物线的焦点求出椭圆的焦点,又椭圆过点,得:
,
且,
,解方程组可得椭圆的方程:
(Ⅱ)设出切点的坐标和切线的方程,利用直线和椭圆相切的条件,证明为定值.
(III)利用(Ⅱ)的结果,由,写出直线
的方程,可解出
交
于点
的坐标,进而证明当点在椭圆上移动时,点
在某定直线上.
试题解析:(Ⅰ)由题意得 ,
又, 2分
消去可得,
,解得
或
(舍去),则
,
求椭圆的方程为
. 4分
(Ⅱ)设直线方程为
,并设点
,
由.
, 6分
,当
时
,直线与椭圆相交,所以
,
,
由得
,
, 8分
,整理得:
.而
,代入
中得
为定值. 10分
(用导数求解也可,若直接用切线公式扣4分,只得2分)
(III)的斜率为:
,又由
,
从而得直线的方程为:
,联立方程
,
消去得方程
,因为
, 所以
,
即点在直线
上. 14分
考点:1、椭圆的标准方程;2、抛物线的标准方程;3、直线与椭圆的位置关系;
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆:
的离心率为
,点
为其下焦点,点
为坐标原点,过
的直线
:
(其中
)与椭圆
相交于
两点,且满足:
.
(1)试用 表示
;
(2)求 的最大值;
(3)若 ,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的右顶点为A(2,0),点P(2e,
)在椭圆上(e为椭圆的离心率).
(1)求椭圆的方程;
(2)若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足,且
,求实数λ的值.
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已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)为坐标原点,斜率为
的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点
,
,若
,求△
的面积.
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已知点在抛物线
:
上.
(1)若的三个顶点都在抛物线
上,记三边
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,求
的值;
(2)若四边形的四个顶点都在抛物线
上,记四边
,
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,
,求
的值.
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已知椭圆(
)的右焦点为
,离心率为
.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于
,
两点,
分别为线段
的中点. 若坐标原点
在以
为直径的圆上,且
,求
的取值范围.
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已知椭圆:
.
(1)椭圆的短轴端点分别为
(如图),直线
分别与椭圆
交于
两点,其中点
满足
,且
.
①证明直线与
轴交点的位置与
无关;
②若∆面积是∆
面积的5倍,求
的值;
(2)若圆:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆
于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线
的方程.
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