已知椭圆:.
(1)椭圆的短轴端点分别为(如图),直线分别与椭圆交于两点,其中点满足,且.
①证明直线与轴交点的位置与无关;
②若∆面积是∆面积的5倍,求的值;
(2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.
(1)①交点为;②;(2).
解析试题分析:(1)①本题方法很容易想到,主要考查计算推理能力,写出直线的方程,然后把直线方程与椭圆方程联立,求得点坐标,同理求得点坐标,从而得到直线的方程,令,求出,与无关;②两个三角形∆与∆有一对对顶角和,故面积用公式,表示,那么面积比就为,即,这个比例式可以转化为点的横坐标之间(或纵坐标)的关系式,从而 求出;(2)仍采取基本方法,设的方程为,则的方程为,直线与圆相交于,弦的长可用直角三角形法求,(弦心距,半径,半个弦长构成一个直角三角形),的高为是直线与椭圆相交的弦长,用公式来求,再借助于基本不等式求出最大值及相应的值,也即得出的方程.
试题解析:(1)①因为,M (m,),且,
直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=,
直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y=,
由得,
由得,
;
据已知,,
直线EF的斜率
直线EF的方程为 ,
令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关.
②,,,
,,,
,
整理方程得,即,
又有
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在平面直角坐标系中,已知分别是椭圆的左、右焦点,椭圆与抛物线有一个公共的焦点,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值;
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作,设交于点,
证明:当点在椭圆上移动时,点在某定直线上.
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已知椭圆C:的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,直线与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点(―1,―1)
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(本小题满分12分)已知的两顶点坐标,,圆是的内切圆,在边,,上的切点分别为,(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设直线与曲线的另一交点为,当点在以线段为直径的圆上时,求直线的方程.
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定义:对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴,的虚轴是的实轴,则称,为共轭双曲线.现给出双曲线和双曲线,其离心率分别为.
(1)写出的渐近线方程(不用证明);
(2)试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线?请加以证明.
(3)求值:.
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已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
(2)过点(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且Q1,Q2两点的中点为(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
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在直角坐标系中,为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
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