已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
(2)过点(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且Q1,Q2两点的中点为(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
(1);(2)直线l不存在,理由详见解析
解析试题分析:(1)设出弦的两端点,代入双曲线方程,作差即可得到弦所在直线的斜率,再利用点斜式求直线方程。(2)同(1)中方法可求得弦所在直线方程,代入双曲线,消掉y(或x)整理出关于x的一元二次方程,看判别式。若判别式大于等于0,则所求直线存在,否则不存在。
试题解析:(1)设弦的两端点为,因为A(2,1)为中点,所以。因为在双曲线上所以,两式相减得,所以,所以,
所以所求弦所在直线方程为,即。
将直线方程代入双曲线方程,整理成关于x的一元二次方程,经检验
(2)假设直线l存在,由(1)中方法可求得直线方程为,联立方程,消去y得,因为,因此直线与双曲线无交点,所以直线l不存在。
考点:点差法求直线斜率问题,
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已知点在抛物线:上.
(1)若的三个顶点都在抛物线上,记三边,,所在直线的斜率分别为,,,求的值;
(2)若四边形的四个顶点都在抛物线上,记四边,,,所在直线的斜率分别为,,,,求的值.
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给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是.
(1)若椭圆C上一动点满足,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆:.
(1)椭圆的短轴端点分别为(如图),直线分别与椭圆交于两点,其中点满足,且.
①证明直线与轴交点的位置与无关;
②若∆面积是∆面积的5倍,求的值;
(2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.
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已知抛物线的焦点为,准线为,点为抛物线C上的一点,且的外接圆圆心到准线的距离为.
(I)求抛物线C的方程;
(II)若圆F的方程为,过点P作圆F的2条切线分别交轴于点,求面积的最小值时的值.
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已知椭圆 的左、右焦点分别是、,是椭圆右准线上的一点,线段的垂直平分线过点.又直线:按向量平移后的直线是,直线:按向量平移后的直线是 (其中)。
(1) 求椭圆的离心率的取值范围。
(2)当离心率最小且时,求椭圆的方程。
(3)若直线与相交于(2)中所求得的椭圆内的一点,且与这个椭圆交于、两点,与这个椭圆交于、两点。求四边形ABCD面积的取值范围。
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(1)已知定点、,动点N满足(O为坐标原点),,,,求点P的轨迹方程.
(2)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线与直线分别交于点,
(ⅰ)设直线的斜率分别为、,求证:为定值;
(ⅱ)当点运动时,以为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论.
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如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆经过点,椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说明理由.
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