定义：对于两个双曲线
,
,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线.现给出双曲线
和双曲线
，其离心率分别为
.
（1）写出
的渐近线方程（不用证明）；
（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明.
（3）求值：
.
（1）
、
；（2）是；（3）1.
解析试题分析：（1）由其图像很容易知道的渐近线方程即
轴和一、三象限的角平分线.从而写出
的渐近线方程都是：和；（2）先利用渐近线与实轴、虚轴间的关系得到
的实轴所在直线为
与虚轴所在直线为
.然后计算实轴与双曲线
的交点，从而得到
、
、
.同理也可得到的类似数据，从
而得到证明；（3）由上问即可得到
，
，所以="1" .
试题解析：（1）的渐近线方程都是：和. 3分
（2）双曲线是共轭双曲线. 4分
证明如下： 对于，实轴和虚轴所在的直线是和的角平分线所
的直线， 所以的实轴所在直线为，
虚轴所在直线为， 6分
实轴
和
的交点
到原点的距离的平方.
又
，所以 从而得； 8分
同理对于，实轴所在直线为，
虚轴所在直线为
，
实轴
和
的交点
到原点的距离的平方
，所以
，从而得
.
综上所述，双曲线是共轭双曲线. 10分
（3） 由（2）易得，，
所以="1" . 13分
考点：1.双曲线的几何性质；2.共轭双曲线的定义；3.离心率.
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
上的点到其两焦点距离之和为
，且过点
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）
为坐标原点，斜率为
的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点
，
，若
，求△
的面积.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
、
为椭圆
的左、右焦点，且点
在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过
的直线
交椭圆于
两点，则
的内切圆的面积是否存在最大值？
若存在其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，长轴长为
，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设
是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量
的直线
交椭圆于
、
两点，求证：
为定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
：
.
(1)椭圆的短轴端点分别为
(如图)，直线
分别与椭圆交于
两点，其中点
满足
，且
.
①证明直线
与
轴交点的位置与
无关；
②若∆
面积是∆
面积的5倍，求的值；
(2)若圆
:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点，
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且
与的两个交点A和B满足
（其中0为原点），求k的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线
的焦点为
，准线为
，点
为抛物线C上的一点，且
的外接圆圆心到准线的距离为
．
（I）求抛物线C的方程；
（II）若圆F的方程为
，过点P作圆F的2条切线分别交
轴于点
，求
面积的最小值时
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆相交于不同的两点A,B。已知点A的坐标为
。若
，求直线的倾斜角。
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轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),
,
均在抛物线上.
，求直线AB方程.