已知圆,若椭圆
的右顶点为圆
的圆心,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若存在直线,使得直线
与椭圆
分别交于
两点,与圆
分别交于
两点,点
在线段
上,且
,求圆
的半径
的取值范围.
(1) (2)
解析试题分析:,
(1)从圆的标准方程得到圆心的坐标即为椭圆的右顶点,即可得到a值,再由椭圆离心率、a值结合、abc之间的关系可得到b值,即得到椭圆的标准方程
(2)联立直线与椭圆方程并利用弦长公式可用斜率k表示弦长|AB|,|GH|.由对称性得到|AB|=|GH|,得到r关于k的表达式,再根据表达式可以利用函数值域求法中的换元法解得r的取值范围.
试题解析:
(1)设椭圆的焦距为2C,因为a=,
,
,所以椭圆C的方程为
.
(2)设A,联立直线与椭圆方程得
,则
,又因为点M(
)到直线l的距离d=
。所以
,显然若点H也在直线AB上,则由对称性可知,直线y=kx就是y轴与已知矛盾,所以要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,所以
,
当k=0时,,当k
时,
,由于
,综上
.
考点:椭圆方程极其性质 弦长
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程.
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,动点
满足:点
到定点
与到
轴的距离之差为
.记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)过点的直线交曲线
于
、
两点,过点
和原点
的直线交直线
于点
,求证:直线
平行于
轴.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,P是椭圆上一点,且
面积的最大值等于2.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点M(0,2)作直线与直线
垂直,试判断直线
与椭圆的位置关系5
(3)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的左、右焦点分别为
、
,椭圆上的点
满足
,且△
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为
、
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点,直线
与直线
的交点为
,证明:点
总在直线
上.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交椭圆C于A、B两点,试问:在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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