已知椭圆:
的左、右焦点分别为
、
,椭圆上的点
满足
,且△
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为
、
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点,直线
与直线
的交点为
,证明:点
总在直线
上.
(Ⅰ)椭圆的方程为
;(Ⅱ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)由焦点坐标知:.又椭圆上的点
满足
,由
可求得
,再由勾股定理可求得
,从而求得
.再由
求得
,从而得椭圆的方程.(Ⅱ)首先考虑
与
轴垂直的情况,此时可求出直线
与直线
的交点为
,
的方程是:
,代入验证知点
在直线
上.当直线
不与
轴垂直时,设直线
的方程为
,点
、
,
,则
,
,要证明
共线,只需证明
,即证明
.
若,显然成立;若
, 即证明
而,这显然用韦达定理.
试题解析:(Ⅰ)由题意知:, 1分
椭圆上的点
满足
,且
,
.
,
.
2分
又 3分
椭圆
的方程为
. 4分
(Ⅱ)由题意知、
,
(1)当直线与
轴垂直时,
、
,则
的方程是:
,
的方程是:
,直线
与直线
的交点为
,
∴点在直线
上. 6分
(2)当直线不与
轴垂直时,设直线
的方程为
,
、
,
由得
∴
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C1:=1,椭圆C2以C1的短轴为长轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B,已知A点的坐标为(-2,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且=4,求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆,若椭圆
的右顶点为圆
的圆心,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若存在直线,使得直线
与椭圆
分别交于
两点,与圆
分别交于
两点,点
在线段
上,且
,求圆
的半径
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率为
,椭圆的的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4,
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线与椭圆C交于A, B两点,若点M(
, 0),求证
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知线段MN的两个端点M、N分别在轴、
轴上滑动,且
,点P在线段MN上,满足
,记点P的轨迹为曲线W.
(1)求曲线W的方程,并讨论W的形状与的值的关系;
(2)当时,设A、B是曲线W与
轴、
轴的正半轴的交点,过原点的直线与曲线W交于C、D两点,其中C在第一象限,求四边形ACBD面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知过点
的椭圆
:
的右焦点为
,过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于坐标原点的对称点为
,直线
,
分别交椭圆
的右准线
于
,
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点的坐标为
,试求直线
的方程;
(3)记,
两点的纵坐标分别为
,
,试问
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分)点P为圆上一个动点,M为点P在y轴上的投影,动点Q满足
.
(1)求动点Q的轨迹C的方程;
(2)一条直线l过点,交曲线C于A、B两点,且A、B同在以点D(0,1)为圆心的圆上,求直线l的方程。
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