在平面直角坐标系中,已知过点
的椭圆
:
的右焦点为
,过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于坐标原点的对称点为
,直线
,
分别交椭圆
的右准线
于
,
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点的坐标为
,试求直线
的方程;
(3)记,
两点的纵坐标分别为
,
,试问
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
(1),(2)
,(3)
.
解析试题分析:(1)求椭圆方程,基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中三个未知数的确定只需两个独立条件,根据椭圆定义:点
到两个焦点距离和为
,求出
的值,再由
求出
的值,就可得到椭圆的标准方程(2)由点
关于坐标原点的对称点为
,可直接写出点
坐标;又由点
及
,可得直线
方程,再由
方程与椭圆方程解出A点坐标,根据两点式就可写出直线
的方程,(3)直线与椭圆位置关系问题就要从其位置关系出发,先根据直线AB垂直
轴的特殊情况下探求
的值,再利用点共线及点在椭圆上条件,逐步消元,直到定值.本题难点在如何利用条件消去参数. 点共线可得到坐标关系,而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键.
试题解析:(1)由题意,得,即
, 2分
又,
,
椭圆
的标准方程为
. 5分
(2),
,又
,
,
直线
:
, 7分
联立方程组,解得
, 9分
直线
:
,即
. 10分
(3)当不存在时,易得
,
当存在时,设
,
,则
,
,
,两式相减, 得
,
,令
,则
, 12分
直线
方程:
,
,
,
直线
方程:
,
, 14分
,又
,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的左、右焦点分别为
、
,椭圆上的点
满足
,且△
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为
、
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点,直线
与直线
的交点为
,证明:点
总在直线
上.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知
分别是椭圆
的左、右焦点,椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
相交于
、
两点,若
(
为坐标原点),试判断直线
与圆
的位置关系,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
. 判断四边形
是否为梯形,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知是椭圆
的右焦点;圆
与
轴交于
两点,其中
是椭圆
的左焦点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设圆与
轴的正半轴的交点为
,点
是点
关于
轴的对称点,试判断直线
与圆
的位置关系;
(3)设直线与圆
交于另一点
,若
的面积为
,求椭圆
的标准方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交椭圆C于A、B两点,试问:在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定椭圆C:,若椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点Q满足且
=0,其中N为椭圆的下顶点,求直线在y轴上截距的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的方程为
,双曲线
的左、右焦点分别为
的左、右顶点,而
的左、右顶点分别是
的左、右焦点。
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与椭圆
及双曲线
都恒有两个不同的交点,且L与的两个焦点A和B满足
(其中O为原点),求
的取值范围。
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