(13分)点P为圆上一个动点,M为点P在y轴上的投影,动点Q满足
.
(1)求动点Q的轨迹C的方程;
(2)一条直线l过点,交曲线C于A、B两点,且A、B同在以点D(0,1)为圆心的圆上,求直线l的方程。
(1).(2)
.[来
解析试题分析:(1)变形得
,即P点为M和Q的中点,设动点Q的坐标为(x,y),利用“代入法”即得所求轨迹方程.
(2)首先考虑直线l的斜率不存在的情况,不符合题意;
设直线l的斜率为k,则直线方程为,与椭圆方程联立,应用韦达定理得:
从而得到弦AB的中点 N点坐标为,
由,可得
的方程,求
,求得直线l的方程.[来
试题解析:(1)变形得
,即P点为M和Q的中点,设动点Q的坐标为(x,y),则P点坐标为
,将其代入到圆的方程中,得
,即为所求轨迹方程。
(2)当直线l的斜率不存在时,显然不符合条件;
设直线l的斜率为k,则直线方程为,将其代入到椭圆方程中并整理得
设,则由韦达定理得:
[来源:Z,xx,k.Com]
设弦AB中点为N,则N点坐标为,
由题意得,即
所以,解得
,所以所求直线l的方程为
.[来
考点:平面向量的数量积,直线与椭圆的位置关系,直线垂直的条件.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的左、右焦点分别为
、
,椭圆上的点
满足
,且△
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为
、
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点,直线
与直线
的交点为
,证明:点
总在直线
上.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交椭圆C于A、B两点,试问:在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定椭圆C:,若椭圆C的一个焦点为F(
,0),其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点Q满足且
=0,其中N为椭圆的下顶点,求直线在y轴上截距的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点,
,动点G满足
.
(Ⅰ)求动点G的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知过点且与
轴不垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹
于P,Q两点.在线段
上是否存在点
,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分)如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽20m,要求通行车辆限高5m,隧道全长2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高度为3米,隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。
(1)若最大拱高h为6 m,则隧道设计的拱宽是多少?
(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小,则应如何设计拱高h和拱宽?(已知:椭圆
+
=1的面积公式为S=
,柱体体积为底面积乘以高。)
(3)为了使隧道内部美观,要求在拱线上找两个点M、N,使它们所在位置的高度恰好是限高5m,现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点,用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭,形成一个梯形,若l=30m,梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍,试确定M、N的位置以及
的值,使总造价最少。
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已知椭圆的方程为
,双曲线
的左、右焦点分别为
的左、右顶点,而
的左、右顶点分别是
的左、右焦点。
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与椭圆
及双曲线
都恒有两个不同的交点,且L与的两个焦点A和B满足
(其中O为原点),求
的取值范围。
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已知椭圆过点
,且离心率
。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
相交于
,
两点(
不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足
,试判断直线
是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由。
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