已知椭圆
,椭圆
以
的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上, 
,求直线
的方程.
（1）
；（2）
或
解析试题分析：（1）由题意可设，所求椭圆
的方程为
，且其离心率可由椭圆
的方程知
，因此
，解之得
，从而可求出椭圆
的方程为.
（2）由题意知，所求直线
过原点，又椭圆短半轴为1，椭圆的长半轴为4，所以直线不与
轴重合，即直线的斜率存在，可设直线的斜率为
，直线的方程为
，又设点
、
的坐标分别为
、
，分别联立直线与椭圆、的方程消去
、
可得
，
，又得
，即
，所以
，解得
，从而可求出直线的直线方程为或.
试题解析：(1)由已知可设椭圆的方程为
其离心率为
,故
,则
故椭圆的方程为
5分
(2)解法一 
两点的坐标分别记为
由及(1)知,
三点共线且点
,
不在
轴上,
因此可以设直线的方程为
将代入
中,得
,所以
将代入
中,则
,所以
由,得
,即
解得
,故直线的方程为
或
12分
解法二 两点的坐标分别记为
由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,
因此可以设直线
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系
中，已知
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点，且过点
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设直线
与椭圆相交于
、
两点,若
(
为坐标原点),试判断直线与圆
的位置关系，并证明你的结论.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知
是椭圆
的右焦点；圆
与
轴交于
两点，其中
是椭圆
的左焦点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设圆
与
轴的正半轴的交点为
，点
是点
关于轴的对称点，试判断直线
与圆的位置关系；
（3）设直线
与圆交于另一点
，若
的面积为
，求椭圆的标准方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C:
的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线
交椭圆C于A、B两点,试问：在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为
的正方形（记为
）
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设点
是直线
与轴的交点，过点的直线
与椭圆相交于
两点，当线段
的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
给定椭圆C：
，若椭圆C的一个焦点为F(
，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为
．
(I)求椭圆C的方程；
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点Q满足
且
=0，其中N为椭圆的下顶点，求直线在y轴上截距的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（13分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽
是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小，则应如何设计拱高h和拱宽？（已知：椭圆
+
=1的面积公式为S=
，柱体体积为底面积乘以高。）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的
倍，试确定M、N的位置以及
的值，使总造价最少。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在原点
,离心率
,右焦点为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的上顶点为
,在椭圆上是否存在点
,使得向量
与
共线?若存在,求直线
的方程;若不存在,简要说明理由.
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的离心率为
，直线
与圆
相切.
的方程；
与椭圆
，求弦长
.