已知是抛物线
上的点,
是
的焦点, 以
为直径的圆
与
轴的另一个交点为
.
(Ⅰ)求与
的方程;
(Ⅱ)过点且斜率大于零的直线
与抛物线
交于
两点,
为坐标原点,
的面积为
,证明:直线
与圆
相切.
(Ⅰ),
;(Ⅱ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)利用为圆
的直径,则
求得点
的横坐标,再由点
在抛物线上求得曲线
的方程,再 根据圆
的圆心是
的中点,易求圆的方程;(Ⅱ)联立方程组,消去
得到关于
的一元二次方程,利用一元二次方程的根与系数关系求出
,利用弦长公式、三角形的面积公式求出直线
的方程,点到直线的距离公式求圆心
到
的距离等于圆的半径,证明直线
与圆
相切.
试题解析:(Ⅰ) 为圆
的直径,则
,即
,
把代入抛物线
的方程求得
,
即,
; 3分
又圆的圆心是
的中点
,半径
,
则:
. 5分
(Ⅱ) 设直线的方程为
,
,
,
由得
,则
7分
设的面积为
,则
9分
解得:,又
,则
,
∴直线的方程为
,即
,
又圆心到
的距离
,故直线
与圆
相切. 12分
考点:抛物线方程,圆的方程,直线与圆锥曲线的位置关系,弦长公式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,点
为动点,
、
分别为椭圆
的左、右焦点.已知
为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆相交于
、
两点,
是直线
上的点,满足
,求点
的轨迹
方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,直线l与抛物线
相交于不同的两点A,B.
(I)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;
(II)如果,证明直线l必过一定点,并求出该定点坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心为原点,长轴长为
,一条准线的方程为
.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)射线与椭圆的交点为
,过
作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于
两点(
两点异于
).求证:直线
的斜率为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,且椭圆C上一点
到点Q
的距离最大值为4,过点
的直线交椭圆
于点
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当
时,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆长轴的左右端点分别为A,B,短轴的上端点为M,O为椭圆的中心,F为椭圆的右焦点,且·
=1,|
|=1.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使得点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知,椭圆C过点,两个焦点为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是椭圆C上的两个动点,如果直线
的斜率与
的斜率互为相反数,证明直线
的斜率为定值,并求出这个定值.
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