设椭圆的左右顶点分别为
,离心率
.过该椭圆上任一点
作
轴,垂足为
,点
在
的延长线上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点的轨迹
的方程;
(3)设直线(
点不同于
)与直线
交于点
,
为线段
的中点,试判断直线
与曲线
的位置关系,并证明你的结论.
(1);(2)
;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)根据椭圆的几何性质求出椭圆标准方程中的;(2)用设点、建立两个动点之间坐标的关系和代入已知曲线方程的方法求出动点轨迹方程;(3)先利用
三点共线建立
与
的坐标关系,再根据
为线段
的中点求出
的坐标表达式,进一步求出直线
的方程,最后根据曲线
圆心到直线
的距离与半径的大小情况判断其位置关系.
试题解析:(1)由题意可得,
,∴
, 2分
∴,所以椭圆的方程为
. 4分
(2)设,
,由题意得
,即
, 6分
又,代入得
,即
.
即动点的轨迹
的方程为
. 8分
(3)设,点
的坐标为
,∵
三点共线,∴
,
而,
,则
,∴
,
∴点的坐标为
,点
的坐标为
, 10分
∴直线的斜率为
,
而,∴
,∴
, 12分
∴直线的方程为
,化简得
,
∴圆心到直线
的距离
,
所以直线与圆
相切. 14分
考点:1、椭圆的标准方程,2、代入法求动点轨迹方程,3、直线与圆位置关系的判定问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C长轴的两个顶点为A(-2,0),B(2,0),且其离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若N是直线x=2上不同于点B的任意一点,直线AN与椭圆C交于点Q,设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M(异于点B),求证:直线NM经过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为
(t为参数,0<a<
),曲线C的极坐标方程为
.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当a变化时,求|AB|的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆:
的离心率为
,以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
:
,设圆
与椭圆
交于点
与点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆
的方程;
(3)设点是椭圆
上异于
,
的任意一点,且直线
分别与
轴交于点
,
为坐标原点,
求证:为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动圆C经过点,且在x轴上截得弦长为2,记该圆圆心的轨迹为E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)过点的直线m交曲线E于A,B两点,过A,B两点分别作曲线E的切线,两切线交于点C,当△ABC的面积为
时,求直线m的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.
(I)若ΔABF2为正三角形,求椭圆的离心率;
(II)若椭圆的离心率满足,
为坐标原点,求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知曲线,曲线
,P是平面上一点,若存在过点P的直线与
都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与
有公共点,求证
,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.
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