经过点且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
.点
在轨迹
上,且关于
轴对称,过线段
(两端点除外)上的任意一点作直线
,使直线
与轨迹
在点
处的切线平行,设直线
与轨迹
交于点
.
(1)求轨迹的方程;
(2)证明:;
(3)若点到直线
的距离等于
,且
的面积为20,求直线
的方程.
(1);(2)证明过程详见解析;(3)
.
解析试题分析:本题主要考查抛物线、圆、直线的标准方程和几何性质,考查用代数法研究圆锥曲线的性质以及数形结合思想、分类讨论思想.第一问,根据圆与直线相切列出表达式;第二问,把证明角相等转化为证明两个斜率之间的关系;第三问,找直线上的点的坐标和直线的斜率,本问应用了数形结合思想.
试题解析:(1)设动圆圆心为,依题意得
.
整理,得,所以轨迹
的方程为
.(2分)
(2)由(1)得,即
,则
.
设点,由导数的几何意义知,直线
的斜率为
,
由题意知点,设点
,
则,
即.
因为,
,
由于,即
,
所以.(6分)
(3)由点到
的距离等于
,可知
,
不妨设点在
上方(如图),即
,直线
的方程为:
.
由,解得点
的坐标为
,
所以,
由(2)知,同理可得
,
所以的面积
,解得
.
当时,点
的坐标为
,
,
直线的方程为
,即
.
当时,点
的坐标为
,
,
直线的方程为
,即
. (12分)
考点:1.圆、抛物线、直线的标准方程;2.斜率公式;3.导数的几何意义;4.三角形面积公式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为
.从这个圆上任意一点
向
轴作垂线
,
为垂足.
(Ⅰ)求线段中点
的轨迹方程;
(Ⅱ)已知直线与
的轨迹相交于
两点,求
的面积
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在原点,焦点F在轴上,离心率
,点
在椭圆C上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线
交椭圆
与
、
两点,且
、
、
成等差数列,点M(1,1),求
的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
抛物线M: 的准线过椭圆N:
的左焦点,以坐标原点为圆心,以t(t>0)为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的部分以及y轴的正半轴相交于点A与点B,直线AB与x轴相交于点C.
(1)求抛物线M的方程.
(2)设点A的横坐标为x1,点C的横坐标为x2,曲线M上点D的横坐标为x1+2,求直线CD的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,动点
到两点
,
的距离之和等于
,设点
的轨迹为曲线
,直线
过点
且与曲线
交于
,
两点.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)是否存在△面积的最大值,若存在,求出△
的面积;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,且过点
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)与圆相切的直线
交抛物线于不同的两点
若抛物线上一点
满足
,求
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动圆C经过点,且在x轴上截得弦长为2,记该圆圆心的轨迹为E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)过点的直线m交曲线E于A,B两点,过A,B两点分别作曲线E的切线,两切线交于点C,当△ABC的面积为
时,求直线m的方程.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com