在平面直角坐标系中,动点
到两点
,
的距离之和等于
,设点
的轨迹为曲线
,直线
过点
且与曲线
交于
,
两点.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)是否存在△面积的最大值,若存在,求出△
的面积;若不存在,说明理由.
(1);(2)存在
面积的最大值为
.
解析试题分析:(1)根据椭圆的性质易得椭圆方程;(2)先设过点E的直线方程,然后把直线方程和椭圆方程联立得关于y的一元二次方程,解出,
,则
,从而得△
面积的表达式,再由不等式性质求得面积最大值.
试题解析:(1)由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以,
为焦点,
长半轴长为2的椭圆, 3分
故曲线C的方程为. 6分
(2)存在面积的最大值. 7分
因为直线过点
,可设直线
的方程为
或
(舍),
则整理得
. 8分
由.设
.
解得 ,
.则
.
因为. 11分
设,
,
.
则在区间
上为增函数.所以
.
所以,当且仅当
时取等号,即
.
所以的最大值为
. 14分
考点:1、椭圆的标准方程及性质;2、直线与椭圆相交问题;3、不等式的性质.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设抛物线的焦点为
,准线为
,
,以
为圆心的圆
与
相切于点
,
的纵坐标为
,
是圆
与
轴除
外的另一个交点.
(I)求抛物线与圆
的方程;
(II)过且斜率为
的直线
与
交于
两点,求
的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆,圆
,动圆
与已知两圆都外切.
(1)求动圆的圆心的轨迹
的方程;
(2)直线与点
的轨迹
交于不同的两点
、
,
的中垂线与
轴交于点
,求点
的纵坐标的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
经过点且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
.点
在轨迹
上,且关于
轴对称,过线段
(两端点除外)上的任意一点作直线
,使直线
与轨迹
在点
处的切线平行,设直线
与轨迹
交于点
.
(1)求轨迹的方程;
(2)证明:;
(3)若点到直线
的距离等于
,且
的面积为20,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在坐标原点,右准线为
,离心率为
.若直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,以线段
为直径作圆
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若圆与
轴相切,求圆
被直线
截得的线段长.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的离心率为
,
直线:y=x+2与原点为圆心,以椭圆C的短轴长为直
径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点的直线
与椭圆
交于
,
两点.设直线
的斜率
,在
轴上是否存在点
,使得
是以GH为底边的等腰三角形. 如果存在,求出实数
的取值范围,如果不存在,请说明理由.
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