Question

在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．

Answer 1

(1)  ; (2) .

解析试题分析：（1）设出焦点，由条件为等腰三角形，分析出，代入两点间距离公式，利用消去，得a、c的关系，得出e的值；（2）由得，，推出椭圆方程，由即，，得，得，与椭圆：联立得交点A，B的坐标，再表示，代入中，整理得点的轨迹方程.
试题解析：（1）设，
由题意,可得,即，             2分
整理得，得 (舍)或，所以.           4分 
（2）由（1）知，,可得椭圆方程为.
直线方程为                           5分
两点的坐标满足方程组,消去y并整理得  6分
解得得方程组的解,           8分
不妨设,,设的坐标为
则,，               10分
由得.
于是,         11分
由得，
化简得，                       13分
将代入得，
由得.因此,点的轨迹方程是.  14分
考点：1.两点间距离公式；2.斜率公式.