Question

已知△的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于．
（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
（Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称
点为(不重合) 试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；
（Ⅱ）直线过定点.

解析试题分析：（Ⅰ）根据，分类讨论参数，轨迹为何种圆锥曲线；（Ⅱ）
一般思路是设点，构造方程，组成方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系，从而得到直线的方程，令求得定点的坐标.
试题解析：（Ⅰ）由题知： 化简得：，     2分
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；  6分
（Ⅱ）设 
依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，
代入整理得
，，                           9分
又因为不重合，则
的方程为 令，
得
故直线过定点.                                   13分
解二：设
依题直线的斜率存在且不为零，可设:
代入整理得：
,，                           9分
的方程为  令，
得
直线过定点                                   13分
考点：圆、椭圆、双曲线的定义、性质，定点问题.