Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=5，S₅=45．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

4

an•an+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据已知中差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=5，S₅=45，我们由此构造关于基本量（首项和公差）的方程，解方程即可得到数列{a_n}的通项公式；
（II）由（I）中结论，我们易写出数列{

4

an•an+1

}的通项公式，观察到数列{

4

an•an+1

}的通项公式为分式的形式，故可以用裂项法求前n项和T_n．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵a₂=5，S₅=45
∴a₁+d=5
5（a₁+2d）=45
解得：a₁=1，d=4
则a_n=4n-3
（II）由（I）得

4

an•an+1

=

4

(4n-3)(4n+1)

=

1

4n-3

-

1

4n+1

∴T_n=（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）
=1-

1

4n+1

=

4n

4n+1

点评：本题考查的知识眯是等差数列的通项公式及数列求和，其中根据已知条件构造关于基本量（首项和公差）的方程，进而得到数列{a_n}的通项公式，是解答本题的关键．