Question

5．已知∠A、∠B、∠C是三角形ABC三个内角，那么$\frac{1}{2}$[cos（A+B）-cos（A-B）]sin²C的取值范围为（0，$\frac{16}{27}$]．

Answer 1

分析 由三角函数恒等变换的应用化简原式可得$\frac{1}{2}$cos（A-B）sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C，利用不等式abc≤（$\frac{a+b+c}{3}$）³当且仅当a=b=c时取“=”，即可求得最大值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C，
=$\frac{1}{2}$cos（A-B）sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C，
≤$\frac{1}{2}$sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C（当且仅当A=B时取“=”），
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）sin²C，
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）（1-cos²C），
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）（1-cosC）（1+cosC），
=$\frac{1}{4}$（1+cosC）（2-2cosC）（1+cosC），
≤$\frac{1}{4}$（$\frac{1+cosC+2-2cosC+1+cosC}{3}$）³=$\frac{1}{4}$×（$\frac{4}{3}$）³=$\frac{16}{27}$．当且仅当“1+cosC=2-2cosC”，即cosC=$\frac{1}{3}$且A=B时取“=”．
又∵角A，B，C为△ABC的三个内角，
∴由和差化积公式可得：$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C=sinAsinBsin²C＞0．
综上，可得[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C的取值范围是：（0，$\frac{16}{27}$]．
故答案为：（0，$\frac{16}{27}$]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，综合性技巧性较强，属于中档题．