Question

如图，四棱锥的底面为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中，,平面底面，是的中点．
 
(1)求证：//平面；
(2)求证：；
(3)求与平面所成角的正弦值。

Answer 1

(1)详见解析(2)详见解析(3).

试题分析：（1）证BE∥平面PAD，可先构建平面EBM，证明平面EBM∥平面APD，由面面平行，得到线面平行；
（2）取PD的中点F，连接FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC；
（3）证明AF⊥平面PCD，连接DE，则∠BDE为BD与平面PDC所成角．.
试题解析：（1）证明：如图，

取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形
∴EM∥PD，BM∥AD；
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM∥平面APD；
而BE?平面EBM，
∴BE∥平面PAD；
（2）证明：取PD的中点F，连接FE，则FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥AF，DC⊥PD，
∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD=AP，F为PD的中点，
∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，
∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，
∴BE⊥平面PDC，
∴CD⊥BE；
（3）解：∵CD⊥AF，AF⊥PD，CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PCD，
连接DE，则∠BDE为BD与平面PDC所成角．
在直角△BDE中，设AD=AB=a，则BE=AF=，BD=，∴sin∠BDE=．