Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

Answer 1

分析：先求出抛物线的焦点坐标，然后得到经过点F的直线的方程后代入到抛物线中消去x得到关于y的一元二次方程，进而得到两根之积，根据BC∥x轴与点c在准线上可求得c的坐标，进而可表示出直线CO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．
得证．

解答：证明：如图因为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（

p

2

，0），
所以经过点F的直线的方程可设为x=my+

p

2

；
代入抛物线方程得y²-2pmy-p²=0，
若记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂是该方程的两个根，
所以y₁y₂=-p²．
因为BC∥x轴，且点c在准线x=-

p

2

上，
所以点c的坐标为（-

p

2

，y₂），
故直线CO的斜率为k=

y2

- p 2

=

2p

y1

=

y1

x1

．
即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

点评：本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．